Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96350 / 102369
↖ ↑ ↗
← S 70.584331°
E 84.633178°		 ← 101.53 m → S 70.584331°
E 84.635925°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.585243°
E 84.633178°		 ← 101.52 m →
10 304 m²		 S 70.585243°
E 84.635925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735095977783203 y=0.781017303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735095977783203 × 217)
    floor (0.735095977783203 × 131072)
    floor (96350.5)     		tx = 96350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781017303466797 × 217)
    floor (0.781017303466797 × 131072)
    floor (102369.5)     		ty = 102369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96350 / 102369 ti = "17/96350/102369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96350/102369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96350 ÷ 217
    96350 ÷ 131072     		x = 0.735092163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102369 ÷ 217
    102369 ÷ 131072     		y = 0.781013488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735092163085938 × 2 - 1) × π
    0.470184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47712762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781013488769531 × 2 - 1) × π
    -0.562026977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76565982370553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47712762} λ = 1.47712762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76565982370553))-π/2
    2×atan(0.171073870641517)-π/2
    2×0.169433679111211-π/2
    0.338867358222422-1.57079632675     		φ = -1.23192897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47712762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.633178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23192897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.584331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96350 KachelY 102369 1.47712762 -1.23192897 84.633178 -70.584331
    Oben rechts KachelX + 1 96351 KachelY 102369 1.47717556 -1.23192897 84.635925 -70.584331
    Unten links KachelX 96350 KachelY + 1 102370 1.47712762 -1.23194490 84.633178 -70.585243
    Unten rechts KachelX + 1 96351 KachelY + 1 102370 1.47717556 -1.23194490 84.635925 -70.585243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23192897--1.23194490) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23192897--1.23194490) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47712762-1.47717556) × cos(-1.23192897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332419073791093 × 6371000     		do = 101.529341602692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47712762-1.47717556) × cos(-1.23194490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332404049659618 × 6371000     		du = 101.524752846219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23192897)-sin(-1.23194490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332419073791093-0.332404049659618)×R²
    abs(1.47717556-1.47712762)×1.50241314745836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50241314745836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50241314745836e-05×40589641000000     		ar = 10303.9830689097m²