Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9634 / 7523
↖ ↑ ↗
← N 69.275597°
W 74.157715°		 ← 432.31 m → N 69.275597°
W 74.146728°		 →
↑
432.40 m
↓
↑
432.40 m
↓
N 69.271708°
W 74.157715°		 ← 432.38 m →
186 946 m²		 N 69.271708°
W 74.146728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.294021606445312 y=0.229598999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.294021606445312 × 215)
    floor (0.294021606445312 × 32768)
    floor (9634.5)     		tx = 9634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229598999023438 × 215)
    floor (0.229598999023438 × 32768)
    floor (7523.5)     		ty = 7523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9634 / 7523 ti = "15/9634/7523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9634/7523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9634 ÷ 215
    9634 ÷ 32768     		x = 0.29400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7523 ÷ 215
    7523 ÷ 32768     		y = 0.229583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.29400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.29429629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229583740234375 × 2 - 1) × π
    0.54083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69907547013327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.29429629} λ = -1.29429629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69907547013327))-π/2
    2×atan(5.4688889025971)-π/2
    2×1.38994179099219-π/2
    2.77988358198439-1.57079632675     		φ = 1.20908726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.29429629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -74.157715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20908726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.275597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9634 KachelY 7523 -1.29429629 1.20908726 -74.157715 69.275597
    Oben rechts KachelX + 1 9635 KachelY 7523 -1.29410454 1.20908726 -74.146728 69.275597
    Unten links KachelX 9634 KachelY + 1 7524 -1.29429629 1.20901939 -74.157715 69.271708
    Unten rechts KachelX + 1 9635 KachelY + 1 7524 -1.29410454 1.20901939 -74.146728 69.271708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20908726-1.20901939) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dl = 432.399770000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20908726-1.20901939) × R
    6.78700000000809e-05 × 6371000     		dr = 432.399770000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.29429629--1.29410454) × cos(1.20908726) × R
    0.000191749999999935 × 0.353873228200798 × 6371000     		do = 432.305425094155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.29429629--1.29410454) × cos(1.20901939) × R
    0.000191749999999935 × 0.35393670574857 × 6371000     		du = 432.382971758007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20908726)-sin(1.20901939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353873228200798-0.35393670574857)×R²
    abs(-1.29410454--1.29429629)×6.34775477721394e-05×R²
    0.000191749999999935×6.34775477721394e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.34775477721394e-05×40589641000000     		ar = 186945.532031856m²