Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96336 / 102640
↖ ↑ ↗
← S 70.830248°
E 84.594727°		 ← 100.29 m → S 70.830248°
E 84.597473°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.831149°
E 84.594727°		 ← 100.29 m →
10 057 m²		 S 70.831149°
E 84.597473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.734989166259766 y=0.783084869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.734989166259766 × 217)
    floor (0.734989166259766 × 131072)
    floor (96336.5)     		tx = 96336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783084869384766 × 217)
    floor (0.783084869384766 × 131072)
    floor (102640.5)     		ty = 102640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96336 / 102640 ti = "17/96336/102640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96336/102640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96336 ÷ 217
    96336 ÷ 131072     		x = 0.7349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102640 ÷ 217
    102640 ÷ 131072     		y = 0.7830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    0.469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47645651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47645651} λ = 1.47645651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77865072350256))-π/2
    2×atan(0.168865840333183)-π/2
    2×0.167287647886237-π/2
    0.334575295772473-1.57079632675     		φ = -1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47645651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.594727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96336 KachelY 102640 1.47645651 -1.23622103 84.594727 -70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 96337 KachelY 102640 1.47650445 -1.23622103 84.597473 -70.830248
    Unten links KachelX 96336 KachelY + 1 102641 1.47645651 -1.23623677 84.594727 -70.831149
    Unten rechts KachelX + 1 96337 KachelY + 1 102641 1.47650445 -1.23623677 84.597473 -70.831149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23622103--1.23623677) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23622103--1.23623677) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47645651-1.47650445) × cos(-1.23622103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 100.292053487658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47645651-1.47650445) × cos(-1.23623677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328353178894644 × 6371000     		du = 100.287512645183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23622103)-sin(-1.23623677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.328353178894644)×R²
    abs(1.47650445-1.47645651)×1.48672553740847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48672553740847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48672553740847e-05×40589641000000     		ar = 10057.0133126835m²