Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96335 / 102193
↖ ↑ ↗
← S 70.422999°
E 84.591980°		 ← 102.34 m → S 70.422999°
E 84.594727°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.423919°
E 84.591980°		 ← 102.34 m →
10 471 m²		 S 70.423919°
E 84.594727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.734981536865234 y=0.779674530029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.734981536865234 × 217)
    floor (0.734981536865234 × 131072)
    floor (96335.5)     		tx = 96335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779674530029297 × 217)
    floor (0.779674530029297 × 131072)
    floor (102193.5)     		ty = 102193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96335 / 102193 ti = "17/96335/102193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96335/102193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96335 ÷ 217
    96335 ÷ 131072     		x = 0.734977722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102193 ÷ 217
    102193 ÷ 131072     		y = 0.779670715332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734977722167969 × 2 - 1) × π
    0.469955444335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.47640857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779670715332031 × 2 - 1) × π
    -0.559341430664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7572229293724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47640857} λ = 1.47640857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7572229293724))-π/2
    2×atan(0.172523308590974)-π/2
    2×0.170841563479693-π/2
    0.341683126959386-1.57079632675     		φ = -1.22911320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47640857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.591980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22911320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.422999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96335 KachelY 102193 1.47640857 -1.22911320 84.591980 -70.422999
    Oben rechts KachelX + 1 96336 KachelY 102193 1.47645651 -1.22911320 84.594727 -70.422999
    Unten links KachelX 96335 KachelY + 1 102194 1.47640857 -1.22912926 84.591980 -70.423919
    Unten rechts KachelX + 1 96336 KachelY + 1 102194 1.47645651 -1.22912926 84.594727 -70.423919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22911320--1.22912926) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dl = 102.318259999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22911320--1.22912926) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dr = 102.318259999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47640857-1.47645651) × cos(-1.22911320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335073394659863 × 6371000     		do = 102.340039518234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47640857-1.47645651) × cos(-1.22912926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33505826301266 × 6371000     		du = 102.335417923689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22911320)-sin(-1.22912926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335073394659863-0.33505826301266)×R²
    abs(1.47645651-1.47640857)×1.51316472024043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51316472024043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51316472024043e-05×40589641000000     		ar = 10471.0183353925m²