Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9632 / 7392
↖ ↑ ↗
← N 69.778952°
W 74.179687°		 ← 422.23 m → N 69.778952°
W 74.168701°		 →
↑
422.33 m
↓
↑
422.33 m
↓
N 69.775154°
W 74.179687°		 ← 422.30 m →
178 338 m²		 N 69.775154°
W 74.168701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.293960571289062 y=0.225601196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.293960571289062 × 215)
    floor (0.293960571289062 × 32768)
    floor (9632.5)     		tx = 9632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225601196289062 × 215)
    floor (0.225601196289062 × 32768)
    floor (7392.5)     		ty = 7392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9632 / 7392 ti = "15/9632/7392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9632/7392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9632 ÷ 215
    9632 ÷ 32768     		x = 0.2939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7392 ÷ 215
    7392 ÷ 32768     		y = 0.2255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    -0.412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.29467978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.29467978} λ = -1.29467978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72419440553418))-π/2
    2×atan(5.60800143453719)-π/2
    2×1.39433439193378-π/2
    2.78866878386757-1.57079632675     		φ = 1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.29467978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -74.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9632 KachelY 7392 -1.29467978 1.21787246 -74.179687 69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 9633 KachelY 7392 -1.29448804 1.21787246 -74.168701 69.778952
    Unten links KachelX 9632 KachelY + 1 7393 -1.29467978 1.21780617 -74.179687 69.775154
    Unten rechts KachelX + 1 9633 KachelY + 1 7393 -1.29448804 1.21780617 -74.168701 69.775154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21787246-1.21780617) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dl = 422.333589999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21787246-1.21780617) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dr = 422.333589999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.29467978--1.29448804) × cos(1.21787246) × R
    0.000191739999999996 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 422.22895925754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.29467978--1.29448804) × cos(1.21780617) × R
    0.000191739999999996 × 0.345705142040047 × 6371000     		du = 422.304945568338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21787246)-sin(1.21780617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.345705142040047)×R²
    abs(-1.29448804--1.29467978)×6.22035300398283e-05×R²
    0.000191739999999996×6.22035300398283e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.22035300398283e-05×40589641000000     		ar = 178337.518016231m²