Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 963 / 632
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 10.722656°		 ← 10.771 km → N 56.559482°
W 10.546875°		 →
↑
10.785 km
↓
↑
10.785 km
↓
N 56.462490°
W 10.722656°		 ← 10.799 km →
116.317 km²		 N 56.462490°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470458984375 y=0.308837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470458984375 × 211)
    floor (0.470458984375 × 2048)
    floor (963.5)     		tx = 963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308837890625 × 211)
    floor (0.308837890625 × 2048)
    floor (632.5)     		ty = 632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 963 / 632 ti = "11/963/632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/963/632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 963 ÷ 211
    963 ÷ 2048     		x = 0.47021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 632 ÷ 211
    632 ÷ 2048     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18714566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18714566} λ = -0.18714566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18714566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 963 KachelY 632 -0.18714566 0.98714919 -10.722656 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 964 KachelY 632 -0.18407769 0.98714919 -10.546875 56.559482
    Unten links KachelX 963 KachelY + 1 633 -0.18714566 0.98545636 -10.722656 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 964 KachelY + 1 633 -0.18407769 0.98545636 -10.546875 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98545636) × R
    0.00169282999999998 × 6371000     		dl = 10785.0199299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98545636) × R
    0.00169282999999998 × 6371000     		dr = 10785.0199299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18714566--0.18407769) × cos(0.98714919) × R
    0.00306797 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 10771.2536723742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18714566--0.18407769) × cos(0.98545636) × R
    0.00306797 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 10798.8488825148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.18407769--0.18714566)×0.00141180589825307×R²
    0.00306797×0.00141180589825307×6371000²
    0.00306797×0.00141180589825307×40589641000000     		ar = 116317020.750536m²