Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 963 / 539
↖ ↑ ↗
← N 64.548440°
W 10.722656°		 ← 8 399.87 m → N 64.548440°
W 10.546875°		 →
↑
8 411.50 m
↓
↑
8 411.50 m
↓
N 64.472794°
W 10.722656°		 ← 8 423.16 m →
70 753 499 m²		 N 64.472794°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470458984375 y=0.263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470458984375 × 211)
    floor (0.470458984375 × 2048)
    floor (963.5)     		tx = 963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263427734375 × 211)
    floor (0.263427734375 × 2048)
    floor (539.5)     		ty = 539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 963 / 539 ti = "11/963/539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/963/539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 963 ÷ 211
    963 ÷ 2048     		x = 0.47021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 539 ÷ 211
    539 ÷ 2048     		y = 0.26318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47021484375 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18714566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26318359375 × 2 - 1) × π
    0.4736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18714566} λ = -0.18714566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48796136420654))-π/2
    2×atan(4.4280591113613)-π/2
    2×1.34868956715992-π/2
    2.69737913431983-1.57079632675     		φ = 1.12658281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18714566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12658281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.548440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 963 KachelY 539 -0.18714566 1.12658281 -10.722656 64.548440
    Oben rechts KachelX + 1 964 KachelY 539 -0.18407769 1.12658281 -10.546875 64.548440
    Unten links KachelX 963 KachelY + 1 540 -0.18714566 1.12526253 -10.722656 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 964 KachelY + 1 540 -0.18407769 1.12526253 -10.546875 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12658281-1.12526253) × R
    0.00132027999999984 × 6371000     		dl = 8411.50387999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12658281-1.12526253) × R
    0.00132027999999984 × 6371000     		dr = 8411.50387999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18714566--0.18407769) × cos(1.12658281) × R
    0.00306797 × 0.429747859113903 × 6371000     		do = 8399.86749904391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18714566--0.18407769) × cos(1.12526253) × R
    0.00306797 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 8423.1618895143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12658281)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429747859113903-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.18407769--0.18714566)×0.00119177051723152×R²
    0.00306797×0.00119177051723152×6371000²
    0.00306797×0.00119177051723152×40589641000000     		ar = 70753498.7653548m²