Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9625 / 5850
↖ ↑ ↗
← N 81.339808°
W127.128296°		 ← 91.98 m → N 81.339808°
W127.122803°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
N 81.338981°
W127.128296°		 ← 91.99 m →
8 462 m²		 N 81.338981°
W127.122803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146873474121094 y=0.0892715454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146873474121094 × 216)
    floor (0.146873474121094 × 65536)
    floor (9625.5)     		tx = 9625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0892715454101562 × 216)
    floor (0.0892715454101562 × 65536)
    floor (5850.5)     		ty = 5850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9625 / 5850 ti = "16/9625/5850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9625/5850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9625 ÷ 216
    9625 ÷ 65536     		x = 0.146865844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5850 ÷ 216
    5850 ÷ 65536     		y = 0.089263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146865844726562 × 2 - 1) × π
    -0.706268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21880734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089263916015625 × 2 - 1) × π
    0.82147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58073092794534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21880734} λ = -2.21880734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58073092794534))-π/2
    2×atan(13.2067878429198)-π/2
    2×1.4952218983155-π/2
    2.990443796631-1.57079632675     		φ = 1.41964747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21880734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.128296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41964747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.339808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9625 KachelY 5850 -2.21880734 1.41964747 -127.128296 81.339808
    Oben rechts KachelX + 1 9626 KachelY 5850 -2.21871146 1.41964747 -127.122803 81.339808
    Unten links KachelX 9625 KachelY + 1 5851 -2.21880734 1.41963303 -127.128296 81.338981
    Unten rechts KachelX + 1 9626 KachelY + 1 5851 -2.21871146 1.41963303 -127.122803 81.338981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41964747-1.41963303) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41964747-1.41963303) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21880734--2.21871146) × cos(1.41964747) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15057398997561 × 6371000     		do = 91.9783446260459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21880734--2.21871146) × cos(1.41963303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150588265325751 × 6371000     		du = 91.9870647448076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41964747)-sin(1.41963303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15057398997561-0.150588265325751)×R²
    abs(-2.21871146--2.21880734)×1.42753501418402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42753501418402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42753501418402e-05×40589641000000     		ar = 8462.15495893381m²