Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9623 / 7280
↖ ↑ ↗
← N 19.642588°
E 31.442871°		 ← 2 301.04 m → N 19.642588°
E 31.464844°		 →
↑
2 301.27 m
↓
↑
2 301.27 m
↓
N 19.621892°
E 31.442871°		 ← 2 301.34 m →
5 295 650 m²		 N 19.621892°
E 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587371826171875 y=0.444366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587371826171875 × 214)
    floor (0.587371826171875 × 16384)
    floor (9623.5)     		tx = 9623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444366455078125 × 214)
    floor (0.444366455078125 × 16384)
    floor (7280.5)     		ty = 7280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9623 / 7280 ti = "14/9623/7280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9623/7280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9623 ÷ 214
    9623 ÷ 16384     		x = 0.58734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7280 ÷ 214
    7280 ÷ 16384     		y = 0.4443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    0.111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.34974761962793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54878163} λ = 0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34974761962793))-π/2
    2×atan(1.41870944898791)-π/2
    2×0.956812076432601-π/2
    1.9136241528652-1.57079632675     		φ = 0.34282783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34282783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.642588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9623 KachelY 7280 0.54878163 0.34282783 31.442871 19.642588
    Oben rechts KachelX + 1 9624 KachelY 7280 0.54916512 0.34282783 31.464844 19.642588
    Unten links KachelX 9623 KachelY + 1 7281 0.54878163 0.34246662 31.442871 19.621892
    Unten rechts KachelX + 1 9624 KachelY + 1 7281 0.54916512 0.34246662 31.464844 19.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34282783-0.34246662) × R
    0.000361210000000001 × 6371000     		dl = 2301.26891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34282783-0.34246662) × R
    0.000361210000000001 × 6371000     		dr = 2301.26891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54878163-0.54916512) × cos(0.34282783) × R
    0.000383489999999931 × 0.941807852557362 × 6371000     		do = 2301.03887470587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54878163-0.54916512) × cos(0.34246662) × R
    0.000383489999999931 × 0.941929212472042 × 6371000     		du = 2301.33538304433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34282783)-sin(0.34246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941807852557362-0.941929212472042)×R²
    abs(0.54916512-0.54878163)×0.000121359914680319×R²
    0.000383489999999931×0.000121359914680319×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121359914680319×40589641000000     		ar = 5295650.45335094m²