Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9620 / 7444
↖ ↑ ↗
← N 16.214675°
E 31.376953°		 ← 2 346.09 m → N 16.214675°
E 31.398926°		 →
↑
2 346.18 m
↓
↑
2 346.18 m
↓
N 16.193575°
E 31.376953°		 ← 2 346.34 m →
5 504 655 m²		 N 16.193575°
E 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587188720703125 y=0.454376220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587188720703125 × 214)
    floor (0.587188720703125 × 16384)
    floor (9620.5)     		tx = 9620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454376220703125 × 214)
    floor (0.454376220703125 × 16384)
    floor (7444.5)     		ty = 7444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9620 / 7444 ti = "14/9620/7444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9620/7444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9620 ÷ 214
    9620 ÷ 16384     		x = 0.587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7444 ÷ 214
    7444 ÷ 16384     		y = 0.454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    0.09130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.286854407326416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54763114} λ = 0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.286854407326416))-π/2
    2×atan(1.33223023639325)-π/2
    2×0.926897892745708-π/2
    1.85379578549142-1.57079632675     		φ = 0.28299946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28299946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.214675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9620 KachelY 7444 0.54763114 0.28299946 31.376953 16.214675
    Oben rechts KachelX + 1 9621 KachelY 7444 0.54801464 0.28299946 31.398926 16.214675
    Unten links KachelX 9620 KachelY + 1 7445 0.54763114 0.28263120 31.376953 16.193575
    Unten rechts KachelX + 1 9621 KachelY + 1 7445 0.54801464 0.28263120 31.398926 16.193575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28299946-0.28263120) × R
    0.000368259999999954 × 6371000     		dl = 2346.1844599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28299946-0.28263120) × R
    0.000368259999999954 × 6371000     		dr = 2346.1844599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54763114-0.54801464) × cos(0.28299946) × R
    0.000383499999999981 × 0.960222198650596 × 6371000     		do = 2346.09025318561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54763114-0.54801464) × cos(0.28263120) × R
    0.000383499999999981 × 0.960324965373257 × 6371000     		du = 2346.34134090961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28299946)-sin(0.28263120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960222198650596-0.960324965373257)×R²
    abs(0.54801464-0.54763114)×0.000102766722661074×R²
    0.000383499999999981×0.000102766722661074×6371000²
    0.000383499999999981×0.000102766722661074×40589641000000     		ar = 5504655.10504875m²