Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 962 / 540
↖ ↑ ↗
← N 64.472794°
W 10.898438°		 ← 8 423.13 m → N 64.472794°
W 10.722656°		 →
↑
8 434.82 m
↓
↑
8 434.82 m
↓
N 64.396938°
W 10.898438°		 ← 8 446.48 m →
71 146 100 m²		 N 64.396938°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469970703125 y=0.263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469970703125 × 211)
    floor (0.469970703125 × 2048)
    floor (962.5)     		tx = 962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263916015625 × 211)
    floor (0.263916015625 × 2048)
    floor (540.5)     		ty = 540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 962 / 540 ti = "11/962/540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/962/540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 962 ÷ 211
    962 ÷ 2048     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 540 ÷ 211
    540 ÷ 2048     		y = 0.263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263671875 × 2 - 1) × π
    0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48489340263086))-π/2
    2×atan(4.41449481416346)-π/2
    2×1.34802942844824-π/2
    2.69605885689648-1.57079632675     		φ = 1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 962 KachelY 540 -0.19021362 1.12526253 -10.898438 64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 963 KachelY 540 -0.18714566 1.12526253 -10.722656 64.472794
    Unten links KachelX 962 KachelY + 1 541 -0.19021362 1.12393859 -10.898438 64.396938
    Unten rechts KachelX + 1 963 KachelY + 1 541 -0.18714566 1.12393859 -10.722656 64.396938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12526253-1.12393859) × R
    0.00132394000000002 × 6371000     		dl = 8434.82174000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12526253-1.12393859) × R
    0.00132394000000002 × 6371000     		dr = 8434.82174000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18714566) × cos(1.12526253) × R
    0.00306796000000001 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 8423.13443435051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18714566) × cos(1.12393859) × R
    0.00306796000000001 × 0.432133949586091 × 6371000     		du = 8446.47858013456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12526253)-sin(1.12393859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.432133949586091)×R²
    abs(-0.18714566--0.19021362)×0.00119431995495717×R²
    0.00306796000000001×0.00119431995495717×6371000²
    0.00306796000000001×0.00119431995495717×40589641000000     		ar = 71146099.6921567m²