Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9619 / 7443
↖ ↑ ↗
← N 16.235772°
E 31.354981°		 ← 2 345.78 m → N 16.235772°
E 31.376953°		 →
↑
2 345.93 m
↓
↑
2 345.93 m
↓
N 16.214675°
E 31.354981°		 ← 2 346.03 m →
5 503 324 m²		 N 16.214675°
E 31.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587127685546875 y=0.454315185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587127685546875 × 214)
    floor (0.587127685546875 × 16384)
    floor (9619.5)     		tx = 9619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454315185546875 × 214)
    floor (0.454315185546875 × 16384)
    floor (7443.5)     		ty = 7443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9619 / 7443 ti = "14/9619/7443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9619/7443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9619 ÷ 214
    9619 ÷ 16384     		x = 0.58709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7443 ÷ 214
    7443 ÷ 16384     		y = 0.45428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58709716796875 × 2 - 1) × π
    0.1741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.54724765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45428466796875 × 2 - 1) × π
    0.0914306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.287237902523376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54724765} λ = 0.54724765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.287237902523376))-π/2
    2×atan(1.33274123826727)-π/2
    2×0.927082003184209-π/2
    1.85416400636842-1.57079632675     		φ = 0.28336768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54724765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.354981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28336768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.235772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9619 KachelY 7443 0.54724765 0.28336768 31.354981 16.235772
    Oben rechts KachelX + 1 9620 KachelY 7443 0.54763114 0.28336768 31.376953 16.235772
    Unten links KachelX 9619 KachelY + 1 7444 0.54724765 0.28299946 31.354981 16.214675
    Unten rechts KachelX + 1 9620 KachelY + 1 7444 0.54763114 0.28299946 31.376953 16.214675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28336768-0.28299946) × R
    0.00036822000000003 × 6371000     		dl = 2345.92962000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28336768-0.28299946) × R
    0.00036822000000003 × 6371000     		dr = 2345.92962000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54724765-0.54763114) × cos(0.28336768) × R
    0.000383490000000042 × 0.960119312890617 × 6371000     		do = 2345.77770541925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54724765-0.54763114) × cos(0.28299946) × R
    0.000383490000000042 × 0.960222198650596 × 6371000     		du = 2346.02907742971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28336768)-sin(0.28299946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960119312890617-0.960222198650596)×R²
    abs(0.54763114-0.54724765)×0.000102885759978744×R²
    0.000383490000000042×0.000102885759978744×6371000²
    0.000383490000000042×0.000102885759978744×40589641000000     		ar = 5503324.31378267m²