Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96127 / 102275
↖ ↑ ↗
← S 70.498325°
E 84.020691°		 ← 101.94 m → S 70.498325°
E 84.023437°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 70.499241°
E 84.020691°		 ← 101.94 m →
10 391 m²		 S 70.499241°
E 84.023437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733394622802734 y=0.780300140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733394622802734 × 217)
    floor (0.733394622802734 × 131072)
    floor (96127.5)     		tx = 96127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780300140380859 × 217)
    floor (0.780300140380859 × 131072)
    floor (102275.5)     		ty = 102275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96127 / 102275 ti = "17/96127/102275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96127/102275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96127 ÷ 217
    96127 ÷ 131072     		x = 0.733390808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102275 ÷ 217
    102275 ÷ 131072     		y = 0.780296325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733390808105469 × 2 - 1) × π
    0.466781616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.46643770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780296325683594 × 2 - 1) × π
    -0.560592651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.76115375514124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46643770} λ = 1.46643770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76115375514124))-π/2
    2×atan(0.171846480641704)-π/2
    2×0.170184224112194-π/2
    0.340368448224388-1.57079632675     		φ = -1.23042788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46643770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.020691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23042788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.498325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96127 KachelY 102275 1.46643770 -1.23042788 84.020691 -70.498325
    Oben rechts KachelX + 1 96128 KachelY 102275 1.46648563 -1.23042788 84.023437 -70.498325
    Unten links KachelX 96127 KachelY + 1 102276 1.46643770 -1.23044388 84.020691 -70.499241
    Unten rechts KachelX + 1 96128 KachelY + 1 102276 1.46648563 -1.23044388 84.023437 -70.499241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23042788--1.23044388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23042788--1.23044388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46643770-1.46648563) × cos(-1.23042788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3338344244319 × 6371000     		do = 101.940357528469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46643770-1.46648563) × cos(-1.23044388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333819342281501 × 6371000     		du = 101.935752012406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23042788)-sin(-1.23044388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3338344244319-0.333819342281501)×R²
    abs(1.46648563-1.46643770)×1.50821503988596e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50821503988596e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50821503988596e-05×40589641000000     		ar = 10391.1575513541m²