Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96127 / 102270
↖ ↑ ↗
← S 70.493739°
E 84.020691°		 ← 101.96 m → S 70.493739°
E 84.023437°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.494656°
E 84.020691°		 ← 101.96 m →
10 400 m²		 S 70.494656°
E 84.023437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733394622802734 y=0.780261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733394622802734 × 217)
    floor (0.733394622802734 × 131072)
    floor (96127.5)     		tx = 96127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780261993408203 × 217)
    floor (0.780261993408203 × 131072)
    floor (102270.5)     		ty = 102270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96127 / 102270 ti = "17/96127/102270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96127/102270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96127 ÷ 217
    96127 ÷ 131072     		x = 0.733390808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102270 ÷ 217
    102270 ÷ 131072     		y = 0.780258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733390808105469 × 2 - 1) × π
    0.466781616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.46643770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.560516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76091407064314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46643770} λ = 1.46643770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76091407064314))-π/2
    2×atan(0.171887674515737)-π/2
    2×0.170224236100416-π/2
    0.340448472200831-1.57079632675     		φ = -1.23034785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46643770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.020691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23034785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.493739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96127 KachelY 102270 1.46643770 -1.23034785 84.020691 -70.493739
    Oben rechts KachelX + 1 96128 KachelY 102270 1.46648563 -1.23034785 84.023437 -70.493739
    Unten links KachelX 96127 KachelY + 1 102271 1.46643770 -1.23036386 84.020691 -70.494656
    Unten rechts KachelX + 1 96128 KachelY + 1 102271 1.46648563 -1.23036386 84.023437 -70.494656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23034785--1.23036386) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23034785--1.23036386) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46643770-1.46648563) × cos(-1.23034785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333909862180043 × 6371000     		do = 101.963393352381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46643770-1.46648563) × cos(-1.23036386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333894771031048 × 6371000     		du = 101.958785088488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23034785)-sin(-1.23036386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333909862180043-0.333894771031048)×R²
    abs(1.46648563-1.46643770)×1.50911489953387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50911489953387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50911489953387e-05×40589641000000     		ar = 10400.0015320827m²