Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96126 / 102269
↖ ↑ ↗
← S 70.492822°
E 84.017944°		 ← 101.99 m → S 70.492822°
E 84.020691°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 70.493739°
E 84.017944°		 ← 101.98 m →
10 396 m²		 S 70.493739°
E 84.020691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733386993408203 y=0.780254364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733386993408203 × 217)
    floor (0.733386993408203 × 131072)
    floor (96126.5)     		tx = 96126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780254364013672 × 217)
    floor (0.780254364013672 × 131072)
    floor (102269.5)     		ty = 102269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96126 / 102269 ti = "17/96126/102269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96126/102269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96126 ÷ 217
    96126 ÷ 131072     		x = 0.733383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102269 ÷ 217
    102269 ÷ 131072     		y = 0.780250549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733383178710938 × 2 - 1) × π
    0.466766357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.46638976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780250549316406 × 2 - 1) × π
    -0.560501098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.76086613374352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46638976} λ = 1.46638976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76086613374352))-π/2
    2×atan(0.171895914475433)-π/2
    2×0.170232239582904-π/2
    0.340464479165807-1.57079632675     		φ = -1.23033185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46638976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.017944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23033185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.492822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96126 KachelY 102269 1.46638976 -1.23033185 84.017944 -70.492822
    Oben rechts KachelX + 1 96127 KachelY 102269 1.46643770 -1.23033185 84.020691 -70.492822
    Unten links KachelX 96126 KachelY + 1 102270 1.46638976 -1.23034785 84.017944 -70.493739
    Unten rechts KachelX + 1 96127 KachelY + 1 102270 1.46643770 -1.23034785 84.020691 -70.493739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23033185--1.23034785) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23033185--1.23034785) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46638976-1.46643770) × cos(-1.23033185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333924943817454 × 6371000     		do = 101.989273069837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46638976-1.46643770) × cos(-1.23034785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333909862180043 × 6371000     		du = 101.984666749571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23033185)-sin(-1.23034785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333924943817454-0.333909862180043)×R²
    abs(1.46643770-1.46638976)×1.50816374109852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50816374109852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50816374109852e-05×40589641000000     		ar = 10396.143764939m²