Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96118 / 102283
↖ ↑ ↗
← S 70.505658°
E 83.995971°		 ← 101.92 m → S 70.505658°
E 83.998718°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 70.506575°
E 83.995971°		 ← 101.92 m →
10 390 m²		 S 70.506575°
E 83.998718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733325958251953 y=0.780361175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733325958251953 × 217)
    floor (0.733325958251953 × 131072)
    floor (96118.5)     		tx = 96118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780361175537109 × 217)
    floor (0.780361175537109 × 131072)
    floor (102283.5)     		ty = 102283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96118 / 102283 ti = "17/96118/102283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96118/102283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96118 ÷ 217
    96118 ÷ 131072     		x = 0.733322143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102283 ÷ 217
    102283 ÷ 131072     		y = 0.780357360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733322143554688 × 2 - 1) × π
    0.466644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.46600626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780357360839844 × 2 - 1) × π
    -0.560714721679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7615372503382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46600626} λ = 1.46600626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7615372503382))-π/2
    2×atan(0.171780590976756)-π/2
    2×0.170120223731533-π/2
    0.340240447463066-1.57079632675     		φ = -1.23055588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46600626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.995971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23055588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.505658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96118 KachelY 102283 1.46600626 -1.23055588 83.995971 -70.505658
    Oben rechts KachelX + 1 96119 KachelY 102283 1.46605420 -1.23055588 83.998718 -70.505658
    Unten links KachelX 96118 KachelY + 1 102284 1.46600626 -1.23057188 83.995971 -70.506575
    Unten rechts KachelX + 1 96119 KachelY + 1 102284 1.46605420 -1.23057188 83.998718 -70.506575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23055588--1.23057188) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23055588--1.23057188) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46600626-1.46605420) × cos(-1.23055588) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333713764836109 × 6371000     		do = 101.92477357366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46600626-1.46605420) × cos(-1.23057188) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		du = 101.920166887938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23055588)-sin(-1.23057188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333713764836109-0.333698682002156)×R²
    abs(1.46605420-1.46600626)×1.50828339527398e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.50828339527398e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.50828339527398e-05×40589641000000     		ar = 10389.5689256343m²