Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96117 / 102282
S 70.504742°
E 83.993225°
← 101.91 m → S 70.504742°
E 83.995971°

101.94 m

101.94 m
S 70.505658°
E 83.993225°
← 101.90 m →
10 388 m²
S 70.505658°
E 83.995971°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733318328857422 y=0.780353546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733318328857422 × 217)
    floor (0.733318328857422 × 131072)
    floor (96117.5)
    tx = 96117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780353546142578 × 217)
    floor (0.780353546142578 × 131072)
    floor (102282.5)
    ty = 102282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96117 / 102282 ti = "17/96117/102282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96117/102282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96117 ÷ 217
    96117 ÷ 131072
    x = 0.733314514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102282 ÷ 217
    102282 ÷ 131072
    y = 0.780349731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.733314514160156 × 2 - 1) × π
    0.466629028320312 × 3.1415926535
    Λ = 1.46595833
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.780349731445312 × 2 - 1) × π
    -0.560699462890625 × 3.1415926535
    Φ = -1.76148931343858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46595833} λ = 1.46595833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76148931343858))-π/2
    2×atan(0.171788825803077)-π/2
    2×0.170128222513898-π/2
    0.340256445027796-1.57079632675
    φ = -1.23053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46595833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.993225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.504742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96117 KachelY 102282 1.46595833 -1.23053988 83.993225 -70.504742
    Oben rechts KachelX + 1 96118 KachelY 102282 1.46600626 -1.23053988 83.995971 -70.504742
    Unten links KachelX 96117 KachelY + 1 102283 1.46595833 -1.23055588 83.993225 -70.505658
    Unten rechts KachelX + 1 96118 KachelY + 1 102283 1.46600626 -1.23055588 83.995971 -70.505658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.23053988--1.23055588) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000
    dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.23053988--1.23055588) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000
    dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.46595833-1.46600626) × cos(-1.23053988) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333728847584631 × 6371000
    do = 101.908118367594m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.46595833-1.46600626) × cos(-1.23055588) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333713764836109 × 6371000
    du = 101.903512668887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.23053988)-sin(-1.23055588))×
    abs(λ12)×abs(0.333728847584631-0.333713764836109)×
    abs(1.46600626-1.46595833)×1.50827485219662e-05×
    4.79299999998073e-05×1.50827485219662e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.50827485219662e-05×40589641000000
    ar = 10387.871210791m²