Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96114 / 102286
↖ ↑ ↗
← S 70.508408°
E 83.984986°		 ← 101.89 m → S 70.508408°
E 83.987732°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
S 70.509324°
E 83.984986°		 ← 101.89 m →
10 380 m²		 S 70.509324°
E 83.987732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733295440673828 y=0.780384063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733295440673828 × 217)
    floor (0.733295440673828 × 131072)
    floor (96114.5)     		tx = 96114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780384063720703 × 217)
    floor (0.780384063720703 × 131072)
    floor (102286.5)     		ty = 102286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96114 / 102286 ti = "17/96114/102286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96114/102286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96114 ÷ 217
    96114 ÷ 131072     		x = 0.733291625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102286 ÷ 217
    102286 ÷ 131072     		y = 0.780380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733291625976562 × 2 - 1) × π
    0.466583251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46581452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780380249023438 × 2 - 1) × π
    -0.560760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76168106103706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46581452} λ = 1.46581452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76168106103706))-π/2
    2×atan(0.171755888866174)-π/2
    2×0.170096229553069-π/2
    0.340192459106138-1.57079632675     		φ = -1.23060387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46581452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.984986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23060387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.508408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96114 KachelY 102286 1.46581452 -1.23060387 83.984986 -70.508408
    Oben rechts KachelX + 1 96115 KachelY 102286 1.46586245 -1.23060387 83.987732 -70.508408
    Unten links KachelX 96114 KachelY + 1 102287 1.46581452 -1.23061986 83.984986 -70.509324
    Unten rechts KachelX + 1 96115 KachelY + 1 102287 1.46586245 -1.23061986 83.987732 -70.509324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23060387--1.23061986) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dl = 101.872290000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23060387--1.23061986) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dr = 101.872290000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46581452-1.46586245) × cos(-1.23060387) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333668525504879 × 6371000     		do = 101.889698295339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46581452-1.46586245) × cos(-1.23061986) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333653451841668 × 6371000     		du = 101.885095370941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23060387)-sin(-1.23061986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333668525504879-0.333653451841668)×R²
    abs(1.46586245-1.46581452)×1.50736632103521e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50736632103521e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50736632103521e-05×40589641000000     		ar = 10379.5024377166m²