Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 961 / 535
↖ ↑ ↗
← N 64.848937°
W 11.074219°		 ← 8 307.16 m → N 64.848937°
W 10.898438°		 →
↑
8 318.68 m
↓
↑
8 318.68 m
↓
N 64.774125°
W 11.074219°		 ← 8 330.26 m →
69 200 677 m²		 N 64.774125°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469482421875 y=0.261474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469482421875 × 211)
    floor (0.469482421875 × 2048)
    floor (961.5)     		tx = 961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261474609375 × 211)
    floor (0.261474609375 × 2048)
    floor (535.5)     		ty = 535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 961 / 535 ti = "11/961/535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/961/535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 961 ÷ 211
    961 ÷ 2048     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 535 ÷ 211
    535 ÷ 2048     		y = 0.26123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    0.4775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50023321050928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50023321050928))-π/2
    2×atan(4.48273436921118)-π/2
    2×1.35131189922269-π/2
    2.70262379844538-1.57079632675     		φ = 1.13182747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13182747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.848937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 961 KachelY 535 -0.19328158 1.13182747 -11.074219 64.848937
    Oben rechts KachelX + 1 962 KachelY 535 -0.19021362 1.13182747 -10.898438 64.848937
    Unten links KachelX 961 KachelY + 1 536 -0.19328158 1.13052176 -11.074219 64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 962 KachelY + 1 536 -0.19021362 1.13052176 -10.898438 64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13182747-1.13052176) × R
    0.00130571000000002 × 6371000     		dl = 8318.6784100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13182747-1.13052176) × R
    0.00130571000000002 × 6371000     		dr = 8318.6784100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19021362) × cos(1.13182747) × R
    0.00306796000000001 × 0.425006310260096 × 6371000     		do = 8307.1619331745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19021362) × cos(1.13052176) × R
    0.00306796000000001 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 8330.25654640709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13182747)-sin(1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425006310260096-0.426187863772093)×R²
    abs(-0.19021362--0.19328158)×0.00118155351199672×R²
    0.00306796000000001×0.00118155351199672×6371000²
    0.00306796000000001×0.00118155351199672×40589641000000     		ar = 69200676.783675m²