Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9608 / 3256
↖ ↑ ↗
← N 83.241600°
W127.221680°		 ← 71.88 m → N 83.241600°
W127.216187°		 →
↑
71.93 m
↓
↑
71.93 m
↓
N 83.240953°
W127.221680°		 ← 71.89 m →
5 170 m²		 N 83.240953°
W127.216187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146614074707031 y=0.0496902465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146614074707031 × 216)
    floor (0.146614074707031 × 65536)
    floor (9608.5)     		tx = 9608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0496902465820312 × 216)
    floor (0.0496902465820312 × 65536)
    floor (3256.5)     		ty = 3256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9608 / 3256 ti = "16/9608/3256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9608/3256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9608 ÷ 216
    9608 ÷ 65536     		x = 0.1466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3256 ÷ 216
    3256 ÷ 65536     		y = 0.0496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22043719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0496826171875 × 2 - 1) × π
    0.900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.82942756317419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22043719} λ = -2.22043719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.82942756317419))-π/2
    2×atan(16.9357633945826)-π/2
    2×1.51181816129422-π/2
    3.02363632258844-1.57079632675     		φ = 1.45284000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22043719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.221680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45284000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.241600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9608 KachelY 3256 -2.22043719 1.45284000 -127.221680 83.241600
    Oben rechts KachelX + 1 9609 KachelY 3256 -2.22034132 1.45284000 -127.216187 83.241600
    Unten links KachelX 9608 KachelY + 1 3257 -2.22043719 1.45282871 -127.221680 83.240953
    Unten rechts KachelX + 1 9609 KachelY + 1 3257 -2.22034132 1.45282871 -127.216187 83.240953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45284000-1.45282871) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dl = 71.9285899999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45284000-1.45282871) × R
    1.12899999999971e-05 × 6371000     		dr = 71.9285899999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22043719--2.22034132) × cos(1.45284000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.117682982299474 × 6371000     		do = 71.8793263256438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22043719--2.22034132) × cos(1.45282871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.117694193840192 × 6371000     		du = 71.8861741975968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45284000)-sin(1.45282871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117682982299474-0.117694193840192)×R²
    abs(-2.22034132--2.22043719)×1.12115407173013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.12115407173013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.12115407173013e-05×40589641000000     		ar = 5170.42487185908m²