Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9607 / 3224
↖ ↑ ↗
← N 83.262255°
W127.227173°		 ← 71.66 m → N 83.262255°
W127.221680°		 →
↑
71.67 m
↓
↑
71.67 m
↓
N 83.261610°
W127.227173°		 ← 71.67 m →
5 136 m²		 N 83.261610°
W127.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146598815917969 y=0.0492019653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146598815917969 × 216)
    floor (0.146598815917969 × 65536)
    floor (9607.5)     		tx = 9607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0492019653320312 × 216)
    floor (0.0492019653320312 × 65536)
    floor (3224.5)     		ty = 3224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9607 / 3224 ti = "16/9607/3224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9607/3224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9607 ÷ 216
    9607 ÷ 65536     		x = 0.146591186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3224 ÷ 216
    3224 ÷ 65536     		y = 0.0491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146591186523438 × 2 - 1) × π
    -0.706817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22053306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0491943359375 × 2 - 1) × π
    0.901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83249552474988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22053306} λ = -2.22053306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83249552474988))-π/2
    2×atan(16.9878014504932)-π/2
    2×1.51199841001445-π/2
    3.0239968200289-1.57079632675     		φ = 1.45320049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22053306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.227173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45320049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.262255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9607 KachelY 3224 -2.22053306 1.45320049 -127.227173 83.262255
    Oben rechts KachelX + 1 9608 KachelY 3224 -2.22043719 1.45320049 -127.221680 83.262255
    Unten links KachelX 9607 KachelY + 1 3225 -2.22053306 1.45318924 -127.227173 83.261610
    Unten rechts KachelX + 1 9608 KachelY + 1 3225 -2.22043719 1.45318924 -127.221680 83.261610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45320049-1.45318924) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dl = 71.6737500001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45320049-1.45318924) × R
    1.12500000000182e-05 × 6371000     		dr = 71.6737500001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22053306--2.22043719) × cos(1.45320049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.11732498962809 × 6371000     		do = 71.6606687802128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22053306--2.22043719) × cos(1.45318924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.117336161923374 × 6371000     		du = 71.6674926815347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45320049)-sin(1.45318924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.11732498962809-0.117336161923374)×R²
    abs(-2.22043719--2.22053306)×1.11722952833015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.11722952833015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.11722952833015e-05×40589641000000     		ar = 5136.43340619291m²