Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96063 / 102338
↖ ↑ ↗
← S 70.556007°
E 83.844909°		 ← 101.67 m → S 70.556007°
E 83.847656°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
S 70.556921°
E 83.844909°		 ← 101.67 m →
10 338 m²		 S 70.556921°
E 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732906341552734 y=0.780780792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732906341552734 × 217)
    floor (0.732906341552734 × 131072)
    floor (96063.5)     		tx = 96063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780780792236328 × 217)
    floor (0.780780792236328 × 131072)
    floor (102338.5)     		ty = 102338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96063 / 102338 ti = "17/96063/102338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96063/102338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96063 ÷ 217
    96063 ÷ 131072     		x = 0.732902526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102338 ÷ 217
    102338 ÷ 131072     		y = 0.780776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.732902526855469 × 2 - 1) × π
    0.465805053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.46336973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.561553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76417377981731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46336973} λ = 1.46336973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76417377981731))-π/2
    2×atan(0.171328282908496)-π/2
    2×0.169680846935369-π/2
    0.339361693870739-1.57079632675     		φ = -1.23143463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46336973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.844909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23143463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.556007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96063 KachelY 102338 1.46336973 -1.23143463 83.844909 -70.556007
    Oben rechts KachelX + 1 96064 KachelY 102338 1.46341767 -1.23143463 83.847656 -70.556007
    Unten links KachelX 96063 KachelY + 1 102339 1.46336973 -1.23145059 83.844909 -70.556921
    Unten rechts KachelX + 1 96064 KachelY + 1 102339 1.46341767 -1.23145059 83.847656 -70.556921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23143463--1.23145059) × R
    1.5959999999815e-05 × 6371000     		dl = 101.681159998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23143463--1.23145059) × R
    1.5959999999815e-05 × 6371000     		dr = 101.681159998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46336973-1.46341767) × cos(-1.23143463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33288526092056 × 6371000     		do = 101.671727151688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46336973-1.46341767) × cos(-1.23145059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332870211119428 × 6371000     		du = 101.667130555041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23143463)-sin(-1.23145059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33288526092056-0.332870211119428)×R²
    abs(1.46341767-1.46336973)×1.50498011315392e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50498011315392e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50498011315392e-05×40589641000000     		ar = 10337.8654623574m²