Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96062 / 102337
↖ ↑ ↗
← S 70.555093°
E 83.842163°		 ← 101.66 m → S 70.555093°
E 83.844909°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
S 70.556007°
E 83.842163°		 ← 101.65 m →
10 330 m²		 S 70.556007°
E 83.844909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732898712158203 y=0.780773162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732898712158203 × 217)
    floor (0.732898712158203 × 131072)
    floor (96062.5)     		tx = 96062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780773162841797 × 217)
    floor (0.780773162841797 × 131072)
    floor (102337.5)     		ty = 102337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96062 / 102337 ti = "17/96062/102337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96062/102337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96062 ÷ 217
    96062 ÷ 131072     		x = 0.732894897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102337 ÷ 217
    102337 ÷ 131072     		y = 0.780769348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.732894897460938 × 2 - 1) × π
    0.465789794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.46332180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780769348144531 × 2 - 1) × π
    -0.561538696289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76412584291769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46332180} λ = 1.46332180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76412584291769))-π/2
    2×atan(0.171336496052051)-π/2
    2×0.169688825859306-π/2
    0.339377651718612-1.57079632675     		φ = -1.23141868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46332180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.842163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23141868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.555093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96062 KachelY 102337 1.46332180 -1.23141868 83.842163 -70.555093
    Oben rechts KachelX + 1 96063 KachelY 102337 1.46336973 -1.23141868 83.844909 -70.555093
    Unten links KachelX 96062 KachelY + 1 102338 1.46332180 -1.23143463 83.842163 -70.556007
    Unten rechts KachelX + 1 96063 KachelY + 1 102338 1.46336973 -1.23143463 83.844909 -70.556007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23141868--1.23143463) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23141868--1.23143463) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46332180-1.46336973) × cos(-1.23141868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332900301207278 × 6371000     		do = 101.655111764328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46332180-1.46336973) × cos(-1.23143463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33288526092056 × 6371000     		du = 101.650519031844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23141868)-sin(-1.23143463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332900301207278-0.33288526092056)×R²
    abs(1.46336973-1.46332180)×1.5040286718504e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5040286718504e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5040286718504e-05×40589641000000     		ar = 10329.6998863667m²