Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9606 / 7297
↖ ↑ ↗
← N 19.290405°
E 31.069336°		 ← 2 306.04 m → N 19.290405°
E 31.091308°		 →
↑
2 306.17 m
↓
↑
2 306.17 m
↓
N 19.269666°
E 31.069336°		 ← 2 306.34 m →
5 318 476 m²		 N 19.269666°
E 31.091308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586334228515625 y=0.445404052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586334228515625 × 214)
    floor (0.586334228515625 × 16384)
    floor (9606.5)     		tx = 9606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445404052734375 × 214)
    floor (0.445404052734375 × 16384)
    floor (7297.5)     		ty = 7297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9606 / 7297 ti = "14/9606/7297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9606/7297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9606 ÷ 214
    9606 ÷ 16384     		x = 0.5863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7297 ÷ 214
    7297 ÷ 16384     		y = 0.44537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5863037109375 × 2 - 1) × π
    0.172607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54226221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    0.1092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54226221} λ = 0.54226221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343228201279602))-π/2
    2×atan(1.4094903727357)-π/2
    2×0.95373870962008-π/2
    1.90747741924016-1.57079632675     		φ = 0.33668109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54226221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.069336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33668109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.290405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9606 KachelY 7297 0.54226221 0.33668109 31.069336 19.290405
    Oben rechts KachelX + 1 9607 KachelY 7297 0.54264570 0.33668109 31.091308 19.290405
    Unten links KachelX 9606 KachelY + 1 7298 0.54226221 0.33631911 31.069336 19.269666
    Unten rechts KachelX + 1 9607 KachelY + 1 7298 0.54264570 0.33631911 31.091308 19.269666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33668109-0.33631911) × R
    0.000361980000000039 × 6371000     		dl = 2306.17458000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33668109-0.33631911) × R
    0.000361980000000039 × 6371000     		dr = 2306.17458000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54226221-0.54264570) × cos(0.33668109) × R
    0.000383490000000042 × 0.943856284847703 × 6371000     		do = 2306.04363477461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54226221-0.54264570) × cos(0.33631911) × R
    0.000383490000000042 × 0.943975805397719 × 6371000     		du = 2306.33564915012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33668109)-sin(0.33631911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943856284847703-0.943975805397719)×R²
    abs(0.54264570-0.54226221)×0.000119520550016072×R²
    0.000383490000000042×0.000119520550016072×6371000²
    0.000383490000000042×0.000119520550016072×40589641000000     		ar = 5318475.98702693m²