Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9604 / 7700
↖ ↑ ↗
← N 10.746969°
E 31.025391°		 ← 2 400.36 m → N 10.746969°
E 31.047363°		 →
↑
2 400.47 m
↓
↑
2 400.47 m
↓
N 10.725381°
E 31.025391°		 ← 2 400.53 m →
5 762 190 m²		 N 10.725381°
E 31.047363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.586212158203125 y=0.470001220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.586212158203125 × 214)
    floor (0.586212158203125 × 16384)
    floor (9604.5)     		tx = 9604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470001220703125 × 214)
    floor (0.470001220703125 × 16384)
    floor (7700.5)     		ty = 7700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9604 / 7700 ti = "14/9604/7700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9604/7700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9604 ÷ 214
    9604 ÷ 16384     		x = 0.586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7700 ÷ 214
    7700 ÷ 16384     		y = 0.469970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.586181640625 × 2 - 1) × π
    0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469970703125 × 2 - 1) × π
    0.06005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.188679636904541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54149522} λ = 0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188679636904541))-π/2
    2×atan(1.20765400272944)-π/2
    2×0.879183163003768-π/2
    1.75836632600754-1.57079632675     		φ = 0.18757000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18757000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.746969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9604 KachelY 7700 0.54149522 0.18757000 31.025391 10.746969
    Oben rechts KachelX + 1 9605 KachelY 7700 0.54187871 0.18757000 31.047363 10.746969
    Unten links KachelX 9604 KachelY + 1 7701 0.54149522 0.18719322 31.025391 10.725381
    Unten rechts KachelX + 1 9605 KachelY + 1 7701 0.54187871 0.18719322 31.047363 10.725381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18757000-0.18719322) × R
    0.000376779999999993 × 6371000     		dl = 2400.46537999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18757000-0.18719322) × R
    0.000376779999999993 × 6371000     		dr = 2400.46537999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54149522-0.54187871) × cos(0.18757000) × R
    0.000383489999999931 × 0.982460262463433 × 6371000     		do = 2400.36144383751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54149522-0.54187871) × cos(0.18719322) × R
    0.000383489999999931 × 0.982530451671508 × 6371000     		du = 2400.53293114878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18757000)-sin(0.18719322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982460262463433-0.982530451671508)×R²
    abs(0.54187871-0.54149522)×7.0189208075222e-05×R²
    0.000383489999999931×7.0189208075222e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.0189208075222e-05×40589641000000     		ar = 5762190.43826377m²