Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 960 / 542
↖ ↑ ↗
← N 64.320872°
W 11.250000°		 ← 8 469.87 m → N 64.320872°
W 11.074219°		 →
↑
8 481.58 m
↓
↑
8 481.58 m
↓
N 64.244595°
W 11.250000°		 ← 8 493.32 m →
71 937 372 m²		 N 64.244595°
W 11.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468994140625 y=0.264892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468994140625 × 211)
    floor (0.468994140625 × 2048)
    floor (960.5)     		tx = 960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264892578125 × 211)
    floor (0.264892578125 × 2048)
    floor (542.5)     		ty = 542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 960 / 542 ti = "11/960/542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/960/542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 960 ÷ 211
    960 ÷ 2048     		x = 0.46875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 542 ÷ 211
    542 ÷ 2048     		y = 0.2646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46875 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2646484375 × 2 - 1) × π
    0.470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47875747947949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19634954} λ = -0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47875747947949))-π/2
    2×atan(4.3874907454012)-π/2
    2×1.34670365679917-π/2
    2.69340731359834-1.57079632675     		φ = 1.12261099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12261099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.320872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 960 KachelY 542 -0.19634954 1.12261099 -11.250000 64.320872
    Oben rechts KachelX + 1 961 KachelY 542 -0.19328158 1.12261099 -11.074219 64.320872
    Unten links KachelX 960 KachelY + 1 543 -0.19634954 1.12127971 -11.250000 64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 961 KachelY + 1 543 -0.19328158 1.12127971 -11.074219 64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12261099-1.12127971) × R
    0.00133128000000005 × 6371000     		dl = 8481.58488000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12261099-1.12127971) × R
    0.00133128000000005 × 6371000     		dr = 8481.58488000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.12261099) × R
    0.00306795999999998 × 0.433330810612138 × 6371000     		do = 8469.87239362584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19634954--0.19328158) × cos(1.12127971) × R
    0.00306795999999998 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 8493.31606238122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12261099)-sin(1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433330810612138-0.434530222304944)×R²
    abs(-0.19328158--0.19634954)×0.0011994116928063×R²
    0.00306795999999998×0.0011994116928063×6371000²
    0.00306795999999998×0.0011994116928063×40589641000000     		ar = 71937371.9871195m²