Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9598 / 7702
↖ ↑ ↗
← N 10.703792°
E 30.893555°		 ← 2 400.70 m → N 10.703792°
E 30.915527°		 →
↑
2 400.85 m
↓
↑
2 400.85 m
↓
N 10.682200°
E 30.893555°		 ← 2 400.87 m →
5 763 930 m²		 N 10.682200°
E 30.915527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585845947265625 y=0.470123291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585845947265625 × 214)
    floor (0.585845947265625 × 16384)
    floor (9598.5)     		tx = 9598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470123291015625 × 214)
    floor (0.470123291015625 × 16384)
    floor (7702.5)     		ty = 7702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9598 / 7702 ti = "14/9598/7702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9598/7702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9598 ÷ 214
    9598 ÷ 16384     		x = 0.5858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7702 ÷ 214
    7702 ÷ 16384     		y = 0.4700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5858154296875 × 2 - 1) × π
    0.171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53919425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    0.059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.18791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53919425} λ = 0.53919425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.18791264651062))-π/2
    2×atan(1.20672809883526)-π/2
    2×0.878806367303064-π/2
    1.75761273460613-1.57079632675     		φ = 0.18681641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53919425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.893555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18681641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.703792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9598 KachelY 7702 0.53919425 0.18681641 30.893555 10.703792
    Oben rechts KachelX + 1 9599 KachelY 7702 0.53957774 0.18681641 30.915527 10.703792
    Unten links KachelX 9598 KachelY + 1 7703 0.53919425 0.18643957 30.893555 10.682200
    Unten rechts KachelX + 1 9599 KachelY + 1 7703 0.53957774 0.18643957 30.915527 10.682200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18681641-0.18643957) × R
    0.000376839999999989 × 6371000     		dl = 2400.84763999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18681641-0.18643957) × R
    0.000376839999999989 × 6371000     		dr = 2400.84763999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53919425-0.53957774) × cos(0.18681641) × R
    0.000383490000000042 × 0.982600506968399 × 6371000     		do = 2400.70409128695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53919425-0.53957774) × cos(0.18643957) × R
    0.000383490000000042 × 0.982670428310837 × 6371000     		du = 2400.87492414493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18681641)-sin(0.18643957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982600506968399-0.982670428310837)×R²
    abs(0.53957774-0.53919425)×6.99213424376621e-05×R²
    0.000383490000000042×6.99213424376621e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.99213424376621e-05×40589641000000     		ar = 5763929.8919469m²