Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9593 / 5969
↖ ↑ ↗
← N 81.240823°
W127.304077°		 ← 93.02 m → N 81.240823°
W127.298584°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
N 81.239987°
W127.304077°		 ← 93.03 m →
8 653 m²		 N 81.239987°
W127.298584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146385192871094 y=0.0910873413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146385192871094 × 216)
    floor (0.146385192871094 × 65536)
    floor (9593.5)     		tx = 9593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0910873413085938 × 216)
    floor (0.0910873413085938 × 65536)
    floor (5969.5)     		ty = 5969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9593 / 5969 ti = "16/9593/5969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9593/5969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9593 ÷ 216
    9593 ÷ 65536     		x = 0.146377563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5969 ÷ 216
    5969 ÷ 65536     		y = 0.0910797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146377563476562 × 2 - 1) × π
    -0.707244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22187530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0910797119140625 × 2 - 1) × π
    0.817840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56932194583577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22187530} λ = -2.22187530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56932194583577))-π/2
    2×atan(13.0569681071396)-π/2
    2×1.49435808850455-π/2
    2.98871617700909-1.57079632675     		φ = 1.41791985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22187530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.304077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41791985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.240823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9593 KachelY 5969 -2.22187530 1.41791985 -127.304077 81.240823
    Oben rechts KachelX + 1 9594 KachelY 5969 -2.22177942 1.41791985 -127.298584 81.240823
    Unten links KachelX 9593 KachelY + 1 5970 -2.22187530 1.41790525 -127.304077 81.239987
    Unten rechts KachelX + 1 9594 KachelY + 1 5970 -2.22177942 1.41790525 -127.298584 81.239987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41791985-1.41790525) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41791985-1.41790525) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22187530--2.22177942) × cos(1.41791985) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152281687378571 × 6371000     		do = 93.0214941124676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22187530--2.22177942) × cos(1.41790525) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.152296117084477 × 6371000     		du = 93.0303085196759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41791985)-sin(1.41790525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152281687378571-0.152296117084477)×R²
    abs(-2.22177942--2.22187530)×1.44297059054554e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.44297059054554e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.44297059054554e-05×40589641000000     		ar = 8652.95305252823m²