Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9591 / 7694
↖ ↑ ↗
← N 10.876465°
E 30.739746°		 ← 2 399.39 m → N 10.876465°
E 30.761719°		 →
↑
2 399.45 m
↓
↑
2 399.45 m
↓
N 10.854887°
E 30.739746°		 ← 2 399.56 m →
5 757 411 m²		 N 10.854887°
E 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585418701171875 y=0.469635009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585418701171875 × 214)
    floor (0.585418701171875 × 16384)
    floor (9591.5)     		tx = 9591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469635009765625 × 214)
    floor (0.469635009765625 × 16384)
    floor (7694.5)     		ty = 7694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9591 / 7694 ti = "14/9591/7694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9591/7694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9591 ÷ 214
    9591 ÷ 16384     		x = 0.58538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7694 ÷ 214
    7694 ÷ 16384     		y = 0.4696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58538818359375 × 2 - 1) × π
    0.1707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53650978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4696044921875 × 2 - 1) × π
    0.060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.190980608086304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53650978} λ = 0.53650978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190980608086304))-π/2
    2×atan(1.21043597918366)-π/2
    2×0.880313225963494-π/2
    1.76062645192699-1.57079632675     		φ = 0.18983013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53650978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.739746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18983013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.876465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9591 KachelY 7694 0.53650978 0.18983013 30.739746 10.876465
    Oben rechts KachelX + 1 9592 KachelY 7694 0.53689328 0.18983013 30.761719 10.876465
    Unten links KachelX 9591 KachelY + 1 7695 0.53650978 0.18945351 30.739746 10.854887
    Unten rechts KachelX + 1 9592 KachelY + 1 7695 0.53689328 0.18945351 30.761719 10.854887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18983013-0.18945351) × R
    0.000376620000000022 × 6371000     		dl = 2399.44602000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18983013-0.18945351) × R
    0.000376620000000022 × 6371000     		dr = 2399.44602000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53650978-0.53689328) × cos(0.18983013) × R
    0.000383499999999981 × 0.982036302409338 × 6371000     		do = 2399.38818389612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53650978-0.53689328) × cos(0.18945351) × R
    0.000383499999999981 × 0.982107297971222 × 6371000     		du = 2399.56164582606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18983013)-sin(0.18945351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982036302409338-0.982107297971222)×R²
    abs(0.53689328-0.53650978)×7.09955618833913e-05×R²
    0.000383499999999981×7.09955618833913e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.09955618833913e-05×40589641000000     		ar = 5757410.60260784m²