Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9591 / 5957
↖ ↑ ↗
← N 81.250856°
W127.315063°		 ← 92.91 m → N 81.250856°
W127.309570°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
N 81.250020°
W127.315063°		 ← 92.91 m →
8 636 m²		 N 81.250020°
W127.309570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146354675292969 y=0.0909042358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146354675292969 × 216)
    floor (0.146354675292969 × 65536)
    floor (9591.5)     		tx = 9591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0909042358398438 × 216)
    floor (0.0909042358398438 × 65536)
    floor (5957.5)     		ty = 5957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9591 / 5957 ti = "16/9591/5957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9591/5957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9591 ÷ 216
    9591 ÷ 65536     		x = 0.146347045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5957 ÷ 216
    5957 ÷ 65536     		y = 0.0908966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146347045898438 × 2 - 1) × π
    -0.707305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22206704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0908966064453125 × 2 - 1) × π
    0.818206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57047243142665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22206704} λ = -2.22206704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57047243142665))-π/2
    2×atan(13.0719986053354)-π/2
    2×1.49444563766343-π/2
    2.98889127532686-1.57079632675     		φ = 1.41809495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22206704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.315063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41809495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.250856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9591 KachelY 5957 -2.22206704 1.41809495 -127.315063 81.250856
    Oben rechts KachelX + 1 9592 KachelY 5957 -2.22197117 1.41809495 -127.309570 81.250856
    Unten links KachelX 9591 KachelY + 1 5958 -2.22206704 1.41808036 -127.315063 81.250020
    Unten rechts KachelX + 1 9592 KachelY + 1 5958 -2.22197117 1.41808036 -127.309570 81.250020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41809495-1.41808036) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41809495-1.41808036) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22206704--2.22197117) × cos(1.41809495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152108627213057 × 6371000     		do = 92.9060892132226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22206704--2.22197117) × cos(1.41808036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152123047424446 × 6371000     		du = 92.9148969019798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41809495)-sin(1.41808036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152108627213057-0.152123047424446)×R²
    abs(-2.22197117--2.22206704)×1.44202113889491e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44202113889491e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44202113889491e-05×40589641000000     		ar = 8636.29884111605m²