Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 95880 / 102488
↖ ↑ ↗
← S 70.692688°
E 83.342285°		 ← 100.98 m → S 70.692688°
E 83.345032°		 →
↑
100.98 m
↓
↑
100.98 m
↓
S 70.693596°
E 83.342285°		 ← 100.98 m →
10 197 m²		 S 70.693596°
E 83.345032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731510162353516 y=0.781925201416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731510162353516 × 217)
    floor (0.731510162353516 × 131072)
    floor (95880.5)     		tx = 95880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781925201416016 × 217)
    floor (0.781925201416016 × 131072)
    floor (102488.5)     		ty = 102488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95880 / 102488 ti = "17/95880/102488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95880/102488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95880 ÷ 217
    95880 ÷ 131072     		x = 0.73150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102488 ÷ 217
    102488 ÷ 131072     		y = 0.78192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73150634765625 × 2 - 1) × π
    0.4630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.45459728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.5638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77136431476031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45459728} λ = 1.45459728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77136431476031))-π/2
    2×atan(0.170100759467578)-π/2
    2×0.168488084827423-π/2
    0.336976169654847-1.57079632675     		φ = -1.23382016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45459728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.342285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23382016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.692688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95880 KachelY 102488 1.45459728 -1.23382016 83.342285 -70.692688
    Oben rechts KachelX + 1 95881 KachelY 102488 1.45464522 -1.23382016 83.345032 -70.692688
    Unten links KachelX 95880 KachelY + 1 102489 1.45459728 -1.23383601 83.342285 -70.693596
    Unten rechts KachelX + 1 95881 KachelY + 1 102489 1.45464522 -1.23383601 83.345032 -70.693596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23382016--1.23383601) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dl = 100.980350000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23382016--1.23383601) × R
    1.58500000000394e-05 × 6371000     		dr = 100.980350000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45459728-1.45464522) × cos(-1.23382016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330634838993567 × 6371000     		do = 100.984390369325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45459728-1.45464522) × cos(-1.23383601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330619880375639 × 6371000     		du = 100.979821622375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23382016)-sin(-1.23383601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330634838993567-0.330619880375639)×R²
    abs(1.45464522-1.45459728)×1.4958617928662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4958617928662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4958617928662e-05×40589641000000     		ar = 10197.2084074555m²