Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9588 / 7699
↖ ↑ ↗
← N 10.768556°
E 30.673828°		 ← 2 400.25 m → N 10.768556°
E 30.695801°		 →
↑
2 400.27 m
↓
↑
2 400.27 m
↓
N 10.746969°
E 30.673828°		 ← 2 400.42 m →
5 761 470 m²		 N 10.746969°
E 30.695801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585235595703125 y=0.469940185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585235595703125 × 214)
    floor (0.585235595703125 × 16384)
    floor (9588.5)     		tx = 9588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469940185546875 × 214)
    floor (0.469940185546875 × 16384)
    floor (7699.5)     		ty = 7699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9588 / 7699 ti = "14/9588/7699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9588/7699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9588 ÷ 214
    9588 ÷ 16384     		x = 0.585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7699 ÷ 214
    7699 ÷ 16384     		y = 0.46990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.53535929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46990966796875 × 2 - 1) × π
    0.0601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.189063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53535929} λ = 0.53535929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189063132101501))-π/2
    2×atan(1.2081172210544)-π/2
    2×0.879371540659638-π/2
    1.75874308131928-1.57079632675     		φ = 0.18794675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53535929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.673828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18794675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.768556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9588 KachelY 7699 0.53535929 0.18794675 30.673828 10.768556
    Oben rechts KachelX + 1 9589 KachelY 7699 0.53574279 0.18794675 30.695801 10.768556
    Unten links KachelX 9588 KachelY + 1 7700 0.53535929 0.18757000 30.673828 10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 9589 KachelY + 1 7700 0.53574279 0.18757000 30.695801 10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18794675-0.18757000) × R
    0.000376750000000009 × 6371000     		dl = 2400.27425000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18794675-0.18757000) × R
    0.000376750000000009 × 6371000     		dr = 2400.27425000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53535929-0.53574279) × cos(0.18794675) × R
    0.000383499999999981 × 0.982389939387454 × 6371000     		do = 2400.25221752155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53535929-0.53574279) × cos(0.18757000) × R
    0.000383499999999981 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 2400.42403638114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18794675)-sin(0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982389939387454-0.982460262463433)×R²
    abs(0.53574279-0.53535929)×7.03230759789841e-05×R²
    0.000383499999999981×7.03230759789841e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.03230759789841e-05×40589641000000     		ar = 5761469.86556345m²