Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9587 / 7703
↖ ↑ ↗
← N 10.682200°
E 30.651855°		 ← 2 400.87 m → N 10.682200°
E 30.673828°		 →
↑
2 400.98 m
↓
↑
2 400.98 m
↓
N 10.660608°
E 30.651855°		 ← 2 401.05 m →
5 764 646 m²		 N 10.660608°
E 30.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.585174560546875 y=0.470184326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.585174560546875 × 214)
    floor (0.585174560546875 × 16384)
    floor (9587.5)     		tx = 9587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470184326171875 × 214)
    floor (0.470184326171875 × 16384)
    floor (7703.5)     		ty = 7703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9587 / 7703 ti = "14/9587/7703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9587/7703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9587 ÷ 214
    9587 ÷ 16384     		x = 0.58514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7703 ÷ 214
    7703 ÷ 16384     		y = 0.47015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58514404296875 × 2 - 1) × π
    0.1702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.53497580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47015380859375 × 2 - 1) × π
    0.0596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.18752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53497580} λ = 0.53497580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.18752915131366))-π/2
    2×atan(1.20626541312986)-π/2
    2×0.878617949309806-π/2
    1.75723589861961-1.57079632675     		φ = 0.18643957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53497580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.651855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18643957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.682200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9587 KachelY 7703 0.53497580 0.18643957 30.651855 10.682200
    Oben rechts KachelX + 1 9588 KachelY 7703 0.53535929 0.18643957 30.673828 10.682200
    Unten links KachelX 9587 KachelY + 1 7704 0.53497580 0.18606271 30.651855 10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 9588 KachelY + 1 7704 0.53535929 0.18606271 30.673828 10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18643957-0.18606271) × R
    0.000376860000000007 × 6371000     		dl = 2400.97506000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18643957-0.18606271) × R
    0.000376860000000007 × 6371000     		dr = 2400.97506000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53497580-0.53535929) × cos(0.18643957) × R
    0.000383490000000042 × 0.982670428310837 × 6371000     		do = 2400.87492414493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53497580-0.53535929) × cos(0.18606271) × R
    0.000383490000000042 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 2401.045425098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18643957)-sin(0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982670428310837-0.982740213805655)×R²
    abs(0.53535929-0.53497580)×6.97854948185084e-05×R²
    0.000383490000000042×6.97854948185084e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.97854948185084e-05×40589641000000     		ar = 5764645.56754574m²