Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9587 / 5949
↖ ↑ ↗
← N 81.257537°
W127.337036°		 ← 92.84 m → N 81.257537°
W127.331543°		 →
↑
92.83 m
↓
↑
92.83 m
↓
N 81.256703°
W127.337036°		 ← 92.84 m →
8 618 m²		 N 81.256703°
W127.331543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146293640136719 y=0.0907821655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146293640136719 × 216)
    floor (0.146293640136719 × 65536)
    floor (9587.5)     		tx = 9587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0907821655273438 × 216)
    floor (0.0907821655273438 × 65536)
    floor (5949.5)     		ty = 5949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9587 / 5949 ti = "16/9587/5949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9587/5949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9587 ÷ 216
    9587 ÷ 65536     		x = 0.146286010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5949 ÷ 216
    5949 ÷ 65536     		y = 0.0907745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146286010742188 × 2 - 1) × π
    -0.707427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22245054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0907745361328125 × 2 - 1) × π
    0.818450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57123942182057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22245054} λ = -2.22245054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57123942182057))-π/2
    2×atan(13.0820285486384)-π/2
    2×1.4945039484873-π/2
    2.9890078969746-1.57079632675     		φ = 1.41821157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22245054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.337036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41821157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.257537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9587 KachelY 5949 -2.22245054 1.41821157 -127.337036 81.257537
    Oben rechts KachelX + 1 9588 KachelY 5949 -2.22235467 1.41821157 -127.331543 81.257537
    Unten links KachelX 9587 KachelY + 1 5950 -2.22245054 1.41819700 -127.337036 81.256703
    Unten rechts KachelX + 1 9588 KachelY + 1 5950 -2.22235467 1.41819700 -127.331543 81.256703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41821157-1.41819700) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dl = 92.8254700002997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41821157-1.41819700) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dr = 92.8254700002997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22245054--2.22235467) × cos(1.41821157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151993363194709 × 6371000     		do = 92.8356873604941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22245054--2.22235467) × cos(1.41819700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152007763897237 × 6371000     		du = 92.8444831334776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41821157)-sin(1.41819700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151993363194709-0.152007763897237)×R²
    abs(-2.22235467--2.22245054)×1.4400702527978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4400702527978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4400702527978e-05×40589641000000     		ar = 8617.92454814423m²