Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9586 / 5906
↖ ↑ ↗
← N 81.293366°
W127.342529°		 ← 92.46 m → N 81.293366°
W127.337036°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
N 81.292535°
W127.342529°		 ← 92.47 m →
8 548 m²		 N 81.292535°
W127.337036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146278381347656 y=0.0901260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146278381347656 × 216)
    floor (0.146278381347656 × 65536)
    floor (9586.5)     		tx = 9586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901260375976562 × 216)
    floor (0.0901260375976562 × 65536)
    floor (5906.5)     		ty = 5906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9586 / 5906 ti = "16/9586/5906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9586/5906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9586 ÷ 216
    9586 ÷ 65536     		x = 0.146270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5906 ÷ 216
    5906 ÷ 65536     		y = 0.090118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.70745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22254641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090118408203125 × 2 - 1) × π
    0.81976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5753619951879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22254641} λ = -2.22254641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5753619951879))-π/2
    2×atan(13.1360714925833)-π/2
    2×1.49481661292642-π/2
    2.98963322585284-1.57079632675     		φ = 1.41883690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22254641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.342529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41883690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.293366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9586 KachelY 5906 -2.22254641 1.41883690 -127.342529 81.293366
    Oben rechts KachelX + 1 9587 KachelY 5906 -2.22245054 1.41883690 -127.337036 81.293366
    Unten links KachelX 9586 KachelY + 1 5907 -2.22254641 1.41882239 -127.342529 81.292535
    Unten rechts KachelX + 1 9587 KachelY + 1 5907 -2.22245054 1.41882239 -127.337036 81.292535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41883690-1.41882239) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41883690-1.41882239) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22254641--2.22245054) × cos(1.41883690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		do = 92.4581629277411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22254641--2.22245054) × cos(1.41882239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151389611681325 × 6371000     		du = 92.4669233200003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41883690)-sin(1.41882239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151375268905177-0.151389611681325)×R²
    abs(-2.22245054--2.22254641)×1.43427761482295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43427761482295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43427761482295e-05×40589641000000     		ar = 8547.53429148294m²