Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9585 / 5905
↖ ↑ ↗
← N 81.294198°
W127.348023°		 ← 92.46 m → N 81.294198°
W127.342529°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
N 81.293366°
W127.348023°		 ← 92.47 m →
8 548 m²		 N 81.293366°
W127.342529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146263122558594 y=0.0901107788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146263122558594 × 216)
    floor (0.146263122558594 × 65536)
    floor (9585.5)     		tx = 9585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901107788085938 × 216)
    floor (0.0901107788085938 × 65536)
    floor (5905.5)     		ty = 5905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9585 / 5905 ti = "16/9585/5905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9585/5905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9585 ÷ 216
    9585 ÷ 65536     		x = 0.146255493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5905 ÷ 216
    5905 ÷ 65536     		y = 0.0901031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146255493164062 × 2 - 1) × π
    -0.707489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22264229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0901031494140625 × 2 - 1) × π
    0.819793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57545786898714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22264229} λ = -2.22264229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57545786898714))-π/2
    2×atan(13.1373309580382)-π/2
    2×1.4948238690437-π/2
    2.98964773808741-1.57079632675     		φ = 1.41885141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22264229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.348023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41885141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.294198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9585 KachelY 5905 -2.22264229 1.41885141 -127.348023 81.294198
    Oben rechts KachelX + 1 9586 KachelY 5905 -2.22254641 1.41885141 -127.342529 81.294198
    Unten links KachelX 9585 KachelY + 1 5906 -2.22264229 1.41883690 -127.348023 81.293366
    Unten rechts KachelX + 1 9586 KachelY + 1 5906 -2.22254641 1.41883690 -127.342529 81.293366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41885141-1.41883690) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41885141-1.41883690) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22264229--2.22254641) × cos(1.41885141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151360926097158 × 6371000     		do = 92.4590457205588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22264229--2.22254641) × cos(1.41883690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		du = 92.4678070460645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41885141)-sin(1.41883690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151360926097158-0.151375268905177)×R²
    abs(-2.22254641--2.22264229)×1.43428080187913e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43428080187913e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43428080187913e-05×40589641000000     		ar = 8547.6159425977m²