Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9584 / 7438
↖ ↑ ↗
← N 16.341226°
E 30.585937°		 ← 2 344.58 m → N 16.341226°
E 30.607910°		 →
↑
2 344.66 m
↓
↑
2 344.66 m
↓
N 16.320140°
E 30.585937°		 ← 2 344.83 m →
5 497 523 m²		 N 16.320140°
E 30.607910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584991455078125 y=0.454010009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584991455078125 × 214)
    floor (0.584991455078125 × 16384)
    floor (9584.5)     		tx = 9584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454010009765625 × 214)
    floor (0.454010009765625 × 16384)
    floor (7438.5)     		ty = 7438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9584 / 7438 ti = "14/9584/7438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9584/7438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9584 ÷ 214
    9584 ÷ 16384     		x = 0.5849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7438 ÷ 214
    7438 ÷ 16384     		y = 0.4539794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4539794921875 × 2 - 1) × π
    0.092041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.289155378508179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53382531} λ = 0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.289155378508179))-π/2
    2×atan(1.33529918920662)-π/2
    2×0.928002258826693-π/2
    1.85600451765339-1.57079632675     		φ = 0.28520819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28520819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.341226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9584 KachelY 7438 0.53382531 0.28520819 30.585937 16.341226
    Oben rechts KachelX + 1 9585 KachelY 7438 0.53420881 0.28520819 30.607910 16.341226
    Unten links KachelX 9584 KachelY + 1 7439 0.53382531 0.28484017 30.585937 16.320140
    Unten rechts KachelX + 1 9585 KachelY + 1 7439 0.53420881 0.28484017 30.607910 16.320140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28520819-0.28484017) × R
    0.000368019999999969 × 6371000     		dl = 2344.6554199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28520819-0.28484017) × R
    0.000368019999999969 × 6371000     		dr = 2344.6554199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53382531-0.53420881) × cos(0.28520819) × R
    0.000383499999999981 × 0.959603097690695 × 6371000     		do = 2344.57761712096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53382531-0.53420881) × cos(0.28484017) × R
    0.000383499999999981 × 0.95970657779507 × 6371000     		du = 2344.83044783516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28520819)-sin(0.28484017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959603097690695-0.95970657779507)×R²
    abs(0.53420881-0.53382531)×0.00010348010437522×R²
    0.000383499999999981×0.00010348010437522×6371000²
    0.000383499999999981×0.00010348010437522×40589641000000     		ar = 5497523.08009375m²