Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 95824 / 102544
↖ ↑ ↗
← S 70.743478°
E 83.188477°		 ← 100.71 m → S 70.743478°
E 83.191223°		 →
↑
100.73 m
↓
↑
100.73 m
↓
S 70.744384°
E 83.188477°		 ← 100.70 m →
10 144 m²		 S 70.744384°
E 83.191223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731082916259766 y=0.782352447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731082916259766 × 217)
    floor (0.731082916259766 × 131072)
    floor (95824.5)     		tx = 95824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782352447509766 × 217)
    floor (0.782352447509766 × 131072)
    floor (102544.5)     		ty = 102544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95824 / 102544 ti = "17/95824/102544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95824/102544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95824 ÷ 217
    95824 ÷ 131072     		x = 0.7310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102544 ÷ 217
    102544 ÷ 131072     		y = 0.7823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7310791015625 × 2 - 1) × π
    0.462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.45191282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45191282} λ = 1.45191282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77404878113904))-π/2
    2×atan(0.169644742053353)-π/2
    2×0.168044857520256-π/2
    0.336089715040512-1.57079632675     		φ = -1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45191282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95824 KachelY 102544 1.45191282 -1.23470661 83.188477 -70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 95825 KachelY 102544 1.45196075 -1.23470661 83.191223 -70.743478
    Unten links KachelX 95824 KachelY + 1 102545 1.45191282 -1.23472242 83.188477 -70.744384
    Unten rechts KachelX + 1 95825 KachelY + 1 102545 1.45196075 -1.23472242 83.191223 -70.744384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23470661--1.23472242) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dl = 100.725510000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23470661--1.23472242) × R
    1.58100000000605e-05 × 6371000     		dr = 100.725510000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45191282-1.45196075) × cos(-1.23470661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 100.707821655193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45191282-1.45196075) × cos(-1.23472242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329783188746898 × 6371000     		du = 100.703263975688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23470661)-sin(-1.23472242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329783188746898)×R²
    abs(1.45196075-1.45191282)×1.49254951740119e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49254951740119e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49254951740119e-05×40589641000000     		ar = 10143.6171601673m²