Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 95821 / 102589
↖ ↑ ↗
← S 70.784198°
E 83.180237°		 ← 100.52 m → S 70.784198°
E 83.182983°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.785102°
E 83.180237°		 ← 100.52 m →
10 099 m²		 S 70.785102°
E 83.182983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731060028076172 y=0.782695770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731060028076172 × 217)
    floor (0.731060028076172 × 131072)
    floor (95821.5)     		tx = 95821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782695770263672 × 217)
    floor (0.782695770263672 × 131072)
    floor (102589.5)     		ty = 102589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95821 / 102589 ti = "17/95821/102589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95821/102589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95821 ÷ 217
    95821 ÷ 131072     		x = 0.731056213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102589 ÷ 217
    102589 ÷ 131072     		y = 0.782691955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731056213378906 × 2 - 1) × π
    0.462112426757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.45176900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782691955566406 × 2 - 1) × π
    -0.565383911132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.77620594162194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45176900} λ = 1.45176900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77620594162194))-π/2
    2×atan(0.169279185543447)-π/2
    2×0.167689505776805-π/2
    0.335379011553609-1.57079632675     		φ = -1.23541732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45176900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.180237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23541732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.784198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95821 KachelY 102589 1.45176900 -1.23541732 83.180237 -70.784198
    Oben rechts KachelX + 1 95822 KachelY 102589 1.45181694 -1.23541732 83.182983 -70.784198
    Unten links KachelX 95821 KachelY + 1 102590 1.45176900 -1.23543309 83.180237 -70.785102
    Unten rechts KachelX + 1 95822 KachelY + 1 102590 1.45181694 -1.23543309 83.182983 -70.785102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23541732--1.23543309) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23541732--1.23543309) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45176900-1.45181694) × cos(-1.23541732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329127084176642 × 6371000     		do = 100.523883238627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45176900-1.45181694) × cos(-1.23543309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329112192751237 × 6371000     		du = 100.519335014003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23541732)-sin(-1.23543309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329127084176642-0.329112192751237)×R²
    abs(1.45181694-1.45176900)×1.4891425405672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4891425405672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4891425405672e-05×40589641000000     		ar = 10099.4734185371m²