Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 95821 / 102587
↖ ↑ ↗
← S 70.782390°
E 83.180237°		 ← 100.53 m → S 70.782390°
E 83.182983°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.783294°
E 83.180237°		 ← 100.53 m →
10 107 m²		 S 70.783294°
E 83.182983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731060028076172 y=0.782680511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731060028076172 × 217)
    floor (0.731060028076172 × 131072)
    floor (95821.5)     		tx = 95821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782680511474609 × 217)
    floor (0.782680511474609 × 131072)
    floor (102587.5)     		ty = 102587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95821 / 102587 ti = "17/95821/102587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95821/102587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95821 ÷ 217
    95821 ÷ 131072     		x = 0.731056213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102587 ÷ 217
    102587 ÷ 131072     		y = 0.782676696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731056213378906 × 2 - 1) × π
    0.462112426757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.45176900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782676696777344 × 2 - 1) × π
    -0.565353393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7761100678227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45176900} λ = 1.45176900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7761100678227))-π/2
    2×atan(0.169295415760111)-π/2
    2×0.167705283823214-π/2
    0.335410567646428-1.57079632675     		φ = -1.23538576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45176900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.180237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23538576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.782390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95821 KachelY 102587 1.45176900 -1.23538576 83.180237 -70.782390
    Oben rechts KachelX + 1 95822 KachelY 102587 1.45181694 -1.23538576 83.182983 -70.782390
    Unten links KachelX 95821 KachelY + 1 102588 1.45176900 -1.23540154 83.180237 -70.783294
    Unten rechts KachelX + 1 95822 KachelY + 1 102588 1.45181694 -1.23540154 83.182983 -70.783294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23538576--1.23540154) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23538576--1.23540154) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45176900-1.45181694) × cos(-1.23538576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3291568856674 × 6371000     		do = 100.532985380995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45176900-1.45181694) × cos(-1.23540154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329141984963001 × 6371000     		du = 100.528434322328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23538576)-sin(-1.23540154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3291568856674-0.329141984963001)×R²
    abs(1.45181694-1.45176900)×1.49007043995231e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49007043995231e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49007043995231e-05×40589641000000     		ar = 10106.7925861454m²