Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 95820 / 102588
↖ ↑ ↗
← S 70.783294°
E 83.177490°		 ← 100.51 m → S 70.783294°
E 83.180237°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.784198°
E 83.177490°		 ← 100.50 m →
10 104 m²		 S 70.784198°
E 83.180237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.731052398681641 y=0.782688140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.731052398681641 × 217)
    floor (0.731052398681641 × 131072)
    floor (95820.5)     		tx = 95820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782688140869141 × 217)
    floor (0.782688140869141 × 131072)
    floor (102588.5)     		ty = 102588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95820 / 102588 ti = "17/95820/102588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95820/102588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95820 ÷ 217
    95820 ÷ 131072     		x = 0.731048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102588 ÷ 217
    102588 ÷ 131072     		y = 0.782684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.731048583984375 × 2 - 1) × π
    0.46209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.45172107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.56536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77615800472232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45172107} λ = 1.45172107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77615800472232))-π/2
    2×atan(0.169287300457272)-π/2
    2×0.167697394621458-π/2
    0.335394789242915-1.57079632675     		φ = -1.23540154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45172107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.177490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23540154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.783294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95820 KachelY 102588 1.45172107 -1.23540154 83.177490 -70.783294
    Oben rechts KachelX + 1 95821 KachelY 102588 1.45176900 -1.23540154 83.180237 -70.783294
    Unten links KachelX 95820 KachelY + 1 102589 1.45172107 -1.23541732 83.177490 -70.784198
    Unten rechts KachelX + 1 95821 KachelY + 1 102589 1.45176900 -1.23541732 83.180237 -70.784198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23540154--1.23541732) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23540154--1.23541732) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45172107-1.45176900) × cos(-1.23540154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329141984963001 × 6371000     		do = 100.507464686593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45172107-1.45176900) × cos(-1.23541732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329127084176642 × 6371000     		du = 100.502914552222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23540154)-sin(-1.23541732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329141984963001-0.329127084176642)×R²
    abs(1.45176900-1.45172107)×1.49007863586292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49007863586292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49007863586292e-05×40589641000000     		ar = 10104.2269253419m²