Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9582 / 5910
↖ ↑ ↗
← N 81.290040°
W127.364502°		 ← 92.49 m → N 81.290040°
W127.359009°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
N 81.289208°
W127.364502°		 ← 92.50 m →
8 557 m²		 N 81.289208°
W127.359009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146217346191406 y=0.0901870727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146217346191406 × 216)
    floor (0.146217346191406 × 65536)
    floor (9582.5)     		tx = 9582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901870727539062 × 216)
    floor (0.0901870727539062 × 65536)
    floor (5910.5)     		ty = 5910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9582 / 5910 ti = "16/9582/5910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9582/5910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9582 ÷ 216
    9582 ÷ 65536     		x = 0.146209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5910 ÷ 216
    5910 ÷ 65536     		y = 0.090179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.70758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22292991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090179443359375 × 2 - 1) × π
    0.81964111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57497849999094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22292991} λ = -2.22292991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57497849999094))-π/2
    2×atan(13.131034838087)-π/2
    2×1.49478758157978-π/2
    2.98957516315957-1.57079632675     		φ = 1.41877884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22292991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.364502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41877884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.290040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9582 KachelY 5910 -2.22292991 1.41877884 -127.364502 81.290040
    Oben rechts KachelX + 1 9583 KachelY 5910 -2.22283404 1.41877884 -127.359009 81.290040
    Unten links KachelX 9582 KachelY + 1 5911 -2.22292991 1.41876432 -127.364502 81.289208
    Unten rechts KachelX + 1 9583 KachelY + 1 5911 -2.22283404 1.41876432 -127.359009 81.289208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41877884-1.41876432) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dl = 92.5069200008211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41877884-1.41876432) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dr = 92.5069200008211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22292991--2.22283404) × cos(1.41877884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151432659587868 × 6371000     		do = 92.4932164548407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22292991--2.22283404) × cos(1.41876432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151447012121113 × 6371000     		du = 92.5019828066158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41877884)-sin(1.41876432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151432659587868-0.151447012121113)×R²
    abs(-2.22283404--2.22292991)×1.43525332457761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43525332457761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43525332457761e-05×40589641000000     		ar = 8556.66804927087m²