Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 95812 / 102595
↖ ↑ ↗
← S 70.789621°
E 83.155517°		 ← 100.50 m → S 70.789621°
E 83.158264°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.790525°
E 83.155517°		 ← 100.49 m →
10 097 m²		 S 70.790525°
E 83.158264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.730991363525391 y=0.782741546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.730991363525391 × 217)
    floor (0.730991363525391 × 131072)
    floor (95812.5)     		tx = 95812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782741546630859 × 217)
    floor (0.782741546630859 × 131072)
    floor (102595.5)     		ty = 102595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95812 / 102595 ti = "17/95812/102595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95812/102595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95812 ÷ 217
    95812 ÷ 131072     		x = 0.730987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102595 ÷ 217
    102595 ÷ 131072     		y = 0.782737731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.730987548828125 × 2 - 1) × π
    0.46197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45133757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782737731933594 × 2 - 1) × π
    -0.565475463867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77649356301966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45133757} λ = 1.45133757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77649356301966))-π/2
    2×atan(0.169230504228725)-π/2
    2×0.167642180207266-π/2
    0.335284360414533-1.57079632675     		φ = -1.23551197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45133757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.155517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23551197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.789621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95812 KachelY 102595 1.45133757 -1.23551197 83.155517 -70.789621
    Oben rechts KachelX + 1 95813 KachelY 102595 1.45138551 -1.23551197 83.158264 -70.789621
    Unten links KachelX 95812 KachelY + 1 102596 1.45133757 -1.23552774 83.155517 -70.790525
    Unten rechts KachelX + 1 95813 KachelY + 1 102596 1.45138551 -1.23552774 83.158264 -70.790525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23551197--1.23552774) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dl = 100.47067000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23551197--1.23552774) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dr = 100.47067000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45133757-1.45138551) × cos(-1.23551197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329037706067061 × 6371000     		do = 100.496584863369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45133757-1.45138551) × cos(-1.23552774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329022814150467 × 6371000     		du = 100.492036488723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23551197)-sin(-1.23552774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329037706067061-0.329022814150467)×R²
    abs(1.45138551-1.45133757)×1.48919165931516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48919165931516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48919165931516e-05×40589641000000     		ar = 10096.7307250081m²