Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 95811 / 102598
↖ ↑ ↗
← S 70.792332°
E 83.152771°		 ← 100.46 m → S 70.792332°
E 83.155517°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.793236°
E 83.152771°		 ← 100.46 m →
10 093 m²		 S 70.793236°
E 83.155517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 95811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.730983734130859 y=0.782764434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.730983734130859 × 217)
    floor (0.730983734130859 × 131072)
    floor (95811.5)     		tx = 95811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782764434814453 × 217)
    floor (0.782764434814453 × 131072)
    floor (102598.5)     		ty = 102598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 95811 / 102598 ti = "17/95811/102598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/95811/102598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 95811 ÷ 217
    95811 ÷ 131072     		x = 0.730979919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102598 ÷ 217
    102598 ÷ 131072     		y = 0.782760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.730979919433594 × 2 - 1) × π
    0.461959838867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.45128964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782760620117188 × 2 - 1) × π
    -0.565521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77663737371852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45128964} λ = 1.45128964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77663737371852))-π/2
    2×atan(0.169206168821532)-π/2
    2×0.167618522242245-π/2
    0.33523704448449-1.57079632675     		φ = -1.23555928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45128964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.152771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23555928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.792332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 95811 KachelY 102598 1.45128964 -1.23555928 83.152771 -70.792332
    Oben rechts KachelX + 1 95812 KachelY 102598 1.45133757 -1.23555928 83.155517 -70.792332
    Unten links KachelX 95811 KachelY + 1 102599 1.45128964 -1.23557505 83.152771 -70.793236
    Unten rechts KachelX + 1 95812 KachelY + 1 102599 1.45133757 -1.23557505 83.155517 -70.793236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23555928--1.23557505) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dl = 100.47067000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23555928--1.23557505) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dr = 100.47067000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45128964-1.45133757) × cos(-1.23555928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328993030071808 × 6371000     		do = 100.46197951864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45128964-1.45133757) × cos(-1.23557505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328978137909749 × 6371000     		du = 100.457432017802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23555928)-sin(-1.23557505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328993030071808-0.328978137909749)×R²
    abs(1.45133757-1.45128964)×1.48921620589659e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48921620589659e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48921620589659e-05×40589641000000     		ar = 10093.2539468644m²