Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 958 / 534
↖ ↑ ↗
← N 64.923542°
W 11.601562°		 ← 8 284.12 m → N 64.923542°
W 11.425781°		 →
↑
8 295.68 m
↓
↑
8 295.68 m
↓
N 64.848937°
W 11.601562°		 ← 8 307.16 m →
68 817 973 m²		 N 64.848937°
W 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468017578125 y=0.260986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468017578125 × 211)
    floor (0.468017578125 × 2048)
    floor (958.5)     		tx = 958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260986328125 × 211)
    floor (0.260986328125 × 2048)
    floor (534.5)     		ty = 534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 958 / 534 ti = "11/958/534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/958/534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 958 ÷ 211
    958 ÷ 2048     		x = 0.4677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 534 ÷ 211
    534 ÷ 2048     		y = 0.2607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    -0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20248546} λ = -0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50330117208496))-π/2
    2×atan(4.49650834421912)-π/2
    2×1.35196294612457-π/2
    2.70392589224915-1.57079632675     		φ = 1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 958 KachelY 534 -0.20248546 1.13312957 -11.601562 64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 959 KachelY 534 -0.19941750 1.13312957 -11.425781 64.923542
    Unten links KachelX 958 KachelY + 1 535 -0.20248546 1.13182747 -11.601562 64.848937
    Unten rechts KachelX + 1 959 KachelY + 1 535 -0.19941750 1.13182747 -11.425781 64.848937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13312957-1.13182747) × R
    0.00130209999999997 × 6371000     		dl = 8295.67909999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13312957-1.13182747) × R
    0.00130209999999997 × 6371000     		dr = 8295.67909999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20248546--0.19941750) × cos(1.13312957) × R
    0.00306796000000001 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 8284.11706739507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20248546--0.19941750) × cos(1.13182747) × R
    0.00306796000000001 × 0.425006310260096 × 6371000     		du = 8307.1619331745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13312957)-sin(1.13182747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.425006310260096)×R²
    abs(-0.19941750--0.20248546)×0.00117900836099505×R²
    0.00306796000000001×0.00117900836099505×6371000²
    0.00306796000000001×0.00117900836099505×40589641000000     		ar = 68817972.9468492m²