Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 958 / 212
↖ ↑ ↗
← N 71.965388°
E156.796875°		 ← 12.103 km → N 71.965388°
E157.148438°		 →
↑
12.138 km
↓
↑
12.138 km
↓
N 71.856229°
E156.796875°		 ← 12.173 km →
147.329 km²		 N 71.856229°
E157.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93603515625 y=0.20751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93603515625 × 210)
    floor (0.93603515625 × 1024)
    floor (958.5)     		tx = 958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20751953125 × 210)
    floor (0.20751953125 × 1024)
    floor (212.5)     		ty = 212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 958 / 212 ti = "10/958/212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/958/212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 958 ÷ 210
    958 ÷ 1024     		x = 0.935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 212 ÷ 210
    212 ÷ 1024     		y = 0.20703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935546875 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.73662173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20703125 × 2 - 1) × π
    0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73662173} λ = 2.73662173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84077694541016))-π/2
    2×atan(6.30143222845502)-π/2
    2×1.41341464480134-π/2
    2.82682928960268-1.57079632675     		φ = 1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73662173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 958 KachelY 212 2.73662173 1.25603296 156.796875 71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 959 KachelY 212 2.74275765 1.25603296 157.148438 71.965388
    Unten links KachelX 958 KachelY + 1 213 2.73662173 1.25412778 156.796875 71.856229
    Unten rechts KachelX + 1 959 KachelY + 1 213 2.74275765 1.25412778 157.148438 71.856229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25603296-1.25412778) × R
    0.00190518000000006 × 6371000     		dl = 12137.9017800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25603296-1.25412778) × R
    0.00190518000000006 × 6371000     		dr = 12137.9017800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73662173-2.74275765) × cos(1.25603296) × R
    0.00613592000000018 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 12102.5332264859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73662173-2.74275765) × cos(1.25412778) × R
    0.00613592000000018 × 0.311402487470188 × 6371000     		du = 12173.3293240994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25603296)-sin(1.25412778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.311402487470188)×R²
    abs(2.74275765-2.73662173)×0.00181101490915764×R²
    0.00613592000000018×0.00181101490915764×6371000²
    0.00613592000000018×0.00181101490915764×40589641000000     		ar = 147329062.195392m²