Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9577 / 7403
↖ ↑ ↗
← N 17.077790°
E 30.432129°		 ← 2 335.49 m → N 17.077790°
E 30.454101°		 →
↑
2 335.67 m
↓
↑
2 335.67 m
↓
N 17.056785°
E 30.432129°		 ← 2 335.75 m →
5 455 237 m²		 N 17.056785°
E 30.454101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584564208984375 y=0.451873779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584564208984375 × 214)
    floor (0.584564208984375 × 16384)
    floor (9577.5)     		tx = 9577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451873779296875 × 214)
    floor (0.451873779296875 × 16384)
    floor (7403.5)     		ty = 7403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9577 / 7403 ti = "14/9577/7403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9577/7403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9577 ÷ 214
    9577 ÷ 16384     		x = 0.58453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7403 ÷ 214
    7403 ÷ 16384     		y = 0.45184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58453369140625 × 2 - 1) × π
    0.1690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.53114085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    0.0963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302577710401794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.53114085} λ = 0.53114085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302577710401794))-π/2
    2×atan(1.35334284115087)-π/2
    2×0.934429992191857-π/2
    1.86885998438371-1.57079632675     		φ = 0.29806366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.53114085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.432129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29806366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.077790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9577 KachelY 7403 0.53114085 0.29806366 30.432129 17.077790
    Oben rechts KachelX + 1 9578 KachelY 7403 0.53152434 0.29806366 30.454101 17.077790
    Unten links KachelX 9577 KachelY + 1 7404 0.53114085 0.29769705 30.432129 17.056785
    Unten rechts KachelX + 1 9578 KachelY + 1 7404 0.53152434 0.29769705 30.454101 17.056785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29806366-0.29769705) × R
    0.000366609999999989 × 6371000     		dl = 2335.67230999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29806366-0.29769705) × R
    0.000366609999999989 × 6371000     		dr = 2335.67230999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.53114085-0.53152434) × cos(0.29806366) × R
    0.000383490000000042 × 0.955906925390213 × 6371000     		do = 2335.48593797705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.53114085-0.53152434) × cos(0.29769705) × R
    0.000383490000000042 × 0.956014523433953 × 6371000     		du = 2335.74882310889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29806366)-sin(0.29769705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955906925390213-0.956014523433953)×R²
    abs(0.53152434-0.53114085)×0.000107598043739943×R²
    0.000383490000000042×0.000107598043739943×6371000²
    0.000383490000000042×0.000107598043739943×40589641000000     		ar = 5455236.9035885m²