Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9573 / 7439
↖ ↑ ↗
← N 16.320140°
E 30.344238°		 ← 2 344.77 m → N 16.320140°
E 30.366211°		 →
↑
2 344.91 m
↓
↑
2 344.91 m
↓
N 16.299051°
E 30.344238°		 ← 2 345.02 m →
5 498 570 m²		 N 16.299051°
E 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584320068359375 y=0.454071044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584320068359375 × 214)
    floor (0.584320068359375 × 16384)
    floor (9573.5)     		tx = 9573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454071044921875 × 214)
    floor (0.454071044921875 × 16384)
    floor (7439.5)     		ty = 7439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9573 / 7439 ti = "14/9573/7439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9573/7439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9573 ÷ 214
    9573 ÷ 16384     		x = 0.58428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7439 ÷ 214
    7439 ÷ 16384     		y = 0.45404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58428955078125 × 2 - 1) × π
    0.1685791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52960687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45404052734375 × 2 - 1) × π
    0.0919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.288771883311218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52960687} λ = 0.52960687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288771883311218))-π/2
    2×atan(1.33478720655877)-π/2
    2×0.927818247314252-π/2
    1.8556364946285-1.57079632675     		φ = 0.28484017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52960687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.344238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28484017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.320140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9573 KachelY 7439 0.52960687 0.28484017 30.344238 16.320140
    Oben rechts KachelX + 1 9574 KachelY 7439 0.52999036 0.28484017 30.366211 16.320140
    Unten links KachelX 9573 KachelY + 1 7440 0.52960687 0.28447211 30.344238 16.299051
    Unten rechts KachelX + 1 9574 KachelY + 1 7440 0.52999036 0.28447211 30.366211 16.299051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28484017-0.28447211) × R
    0.000368060000000003 × 6371000     		dl = 2344.91026000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28484017-0.28447211) × R
    0.000368060000000003 × 6371000     		dr = 2344.91026000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52960687-0.52999036) × cos(0.28484017) × R
    0.000383490000000042 × 0.95970657779507 × 6371000     		do = 2344.76930492946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52960687-0.52999036) × cos(0.28447211) × R
    0.000383490000000042 × 0.959809939144049 × 6371000     		du = 2345.021838906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28484017)-sin(0.28447211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95970657779507-0.959809939144049)×R²
    abs(0.52999036-0.52960687)×0.000103361348979369×R²
    0.000383490000000042×0.000103361348979369×6371000²
    0.000383490000000042×0.000103361348979369×40589641000000     		ar = 5498569.74729203m²