Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 957 / 644
↖ ↑ ↗
← N 55.379110°
W 11.777344°		 ← 11.105 km → N 55.379110°
W 11.601562°		 →
↑
11.119 km
↓
↑
11.119 km
↓
N 55.279115°
W 11.777344°		 ← 11.133 km →
123.631 km²		 N 55.279115°
W 11.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467529296875 y=0.314697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467529296875 × 211)
    floor (0.467529296875 × 2048)
    floor (957.5)     		tx = 957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314697265625 × 211)
    floor (0.314697265625 × 2048)
    floor (644.5)     		ty = 644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 957 / 644 ti = "11/957/644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/957/644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 957 ÷ 211
    957 ÷ 2048     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 644 ÷ 211
    644 ÷ 2048     		y = 0.314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314453125 × 2 - 1) × π
    0.37109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16582539875977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16582539875977))-π/2
    2×atan(3.2085701403456)-π/2
    2×1.26867207045967-π/2
    2.53734414091934-1.57079632675     		φ = 0.96654781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96654781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.379110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 957 KachelY 644 -0.20555343 0.96654781 -11.777344 55.379110
    Oben rechts KachelX + 1 958 KachelY 644 -0.20248546 0.96654781 -11.601562 55.379110
    Unten links KachelX 957 KachelY + 1 645 -0.20555343 0.96480257 -11.777344 55.279115
    Unten rechts KachelX + 1 958 KachelY + 1 645 -0.20248546 0.96480257 -11.601562 55.279115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96654781-0.96480257) × R
    0.00174523999999998 × 6371000     		dl = 11118.9240399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96654781-0.96480257) × R
    0.00174523999999998 × 6371000     		dr = 11118.9240399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20248546) × cos(0.96654781) × R
    0.00306797 × 0.568143819206898 × 6371000     		do = 11104.9600376807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20248546) × cos(0.96480257) × R
    0.00306797 × 0.569579162331506 × 6371000     		du = 11133.0153073153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96654781)-sin(0.96480257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568143819206898-0.569579162331506)×R²
    abs(-0.20248546--0.20555343)×0.00143534312460769×R²
    0.00306797×0.00143534312460769×6371000²
    0.00306797×0.00143534312460769×40589641000000     		ar = 123631210.712499m²