Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9568 / 7405
↖ ↑ ↗
← N 17.035777°
E 30.234375°		 ← 2 336.07 m → N 17.035777°
E 30.256348°		 →
↑
2 336.18 m
↓
↑
2 336.18 m
↓
N 17.014767°
E 30.234375°		 ← 2 336.33 m →
5 457 797 m²		 N 17.014767°
E 30.256348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.584014892578125 y=0.451995849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.584014892578125 × 214)
    floor (0.584014892578125 × 16384)
    floor (9568.5)     		tx = 9568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451995849609375 × 214)
    floor (0.451995849609375 × 16384)
    floor (7405.5)     		ty = 7405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9568 / 7405 ti = "14/9568/7405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9568/7405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9568 ÷ 214
    9568 ÷ 16384     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7405 ÷ 214
    7405 ÷ 16384     		y = 0.45196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45196533203125 × 2 - 1) × π
    0.0960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.301810720007874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301810720007874))-π/2
    2×atan(1.35230523815866)-π/2
    2×0.934063365221475-π/2
    1.86812673044295-1.57079632675     		φ = 0.29733040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29733040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.035777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9568 KachelY 7405 0.52768939 0.29733040 30.234375 17.035777
    Oben rechts KachelX + 1 9569 KachelY 7405 0.52807289 0.29733040 30.256348 17.035777
    Unten links KachelX 9568 KachelY + 1 7406 0.52768939 0.29696371 30.234375 17.014767
    Unten rechts KachelX + 1 9569 KachelY + 1 7406 0.52807289 0.29696371 30.256348 17.014767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29733040-0.29696371) × R
    0.000366690000000003 × 6371000     		dl = 2336.18199000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29733040-0.29696371) × R
    0.000366690000000003 × 6371000     		dr = 2336.18199000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.52807289) × cos(0.29733040) × R
    0.000383499999999981 × 0.95612200470533 × 6371000     		do = 2336.07233747332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.52807289) × cos(0.29696371) × R
    0.000383499999999981 × 0.95622936914783 × 6371000     		du = 2336.33465870734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29733040)-sin(0.29696371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95612200470533-0.95622936914783)×R²
    abs(0.52807289-0.52768939)×0.000107364442499813×R²
    0.000383499999999981×0.000107364442499813×6371000²
    0.000383499999999981×0.000107364442499813×40589641000000     		ar = 5457796.59836863m²